Multi-Scale Approximation Models for the Boltzmann Equation

Wir entwickeln mathematische und numerische Modelle zur Näherung der Boltzmann Gleichung auf verschiedenen physikalischen Skalen. Zuerst besprechen wir in einem ¨Übersichtsteil die dabei auftretenden Schwierigkeiten und Herausforderungen.
In einem zweiten Teil beschreiben wir die physikalischen Prozesse auf verschiedenen Skalen um die Boltzmanngleichung. Wir werden einen molekular dynamischen Ansatz grobkörniger machen und zu einer statistisch physikalischen Beschreibung transformieren. Aus dieser statistischen Beschreibung können wiederum die makroskopischen Bilanzgleichungen der Kontinuumsphysik hergeleitet werden.
Der dritte Teil der vorliegenden Arbeit ist eine mathematische Abhandlung über kinetische Modelle mit linearen Kollisionsoperatoren. Dabei werden wir die beiden klassischen Stragegien untersuchen, um die Boltzmanngleichung zu vereinfachen: Chapmann- Enskog Entwicklung in der Knudsenzahl und den Hermite Funktionen Ansatz von Grad. Mit Hilfe dieser klassischen Methoden werden wir eine neue ’skaleninduzierte’ Strategie entwickeln, fussend auf den Ideen in [49]. Diese Strategie kombiniert physikalische Genauigkeit im Mass der Knudsenzahl sowie die g¨unstigen mathematischen Eigenschaften des Ansatzes von Grad. Wir testen diese neue Strategie numerisch im Rahmen eines diskreten Models mit 16 Geschwindigkeiten. Zusätzlich zu den mathematisch beweisbaren Konvergenz- und Stabilitätseigenschaften zeigen sich dabei signifikant bessere Resultate als mit den klassischen Ansätzen von Chapman-Enskog und Grad. Wir werden skizzieren, wie diese vielversprechende Strategie auch ausserhalb der kinetischen Theorie angewendet werden kann.
Im vierten Teil entwickeln wir eine numerisch-physikalisch motivierte Näherung an die Boltzmann Gleichung. Wir werden das BGK Model für den Kollisionsterm verwenden und damit eine Galilei-invariante, temperaturskalierte schwache Formulierung der Boltzmann Gleichung herleiten. Die invariante Boltzmann Verteilung nähern wir nicht-linear mit Hilfe einer Gleichgewichts-Maxwell Verteilung, erweitert durch eine Störungsreihe. Um dabei Massen-, Impuls- und Energieerhaltung zu gewährleisten, was bei herkömmlichen numerischen Methoden für die Boltzmann Gleichung ein Problem darstellt, koppeln wir unsere schwache, invariante Formulierung an die Bilanzgleichungen der Kontinuumsphysik. Dies geschieht mit Hilfe des Wärmeflusses. Die Kompatibilität von mikroskopischen und makroskopischen Grössen werden wir entweder direkt mit der Wahl der entsprechenden Störungsfunktionen oder mit Bedingungen an die gesamte Störungsreihe sicherstellen. Die so entstehenden Gleichungen stellen eine numerische Herausforderung dar. In den Grössenordnungen der Knudsenzahl, die für uns interessant sind, wird physikalische Diffusion stark zur numerischen Lösbarkeit beitragen. Wir werden einen numerischen Lösungsalgorithmus an einem Spielzeugmodell testen (Gradgleichungen für 5 Momente in einer Raum- und Geschwindigkeitsdimension), bevor wir diesen auf das vollkinetisches Schockwellenproblem anwenden. Die Resultate im vollkinetischen Fall sehen vielversprechend aus und motivieren weitere Forschungsprojekte für höher dimensionale Fälle, die für die Praxis interessant sind.