Zur mehrdimensionalen Spline-Interpolation

Nach einem kurzen Abriß der benötigten Hilbertraumtheorie der Spline-Funktionen im §1 untersuchen wir in §2 den für unsere Fragestellung geeigneten Spline-Grundraum Km, n (Ω). Dabei ist Ω aus der Klasse (APT) gewählt, worunter wir solche kompakten Mengen Ω der reellen Zahlenebene verstehen, die eine „achsenparallele Taylorentwicklung“ erlauben. Sie zeichnen sich durch eine „lokale Rechteckigkeit“ aus. Zu dieser Klasse gehören Rechtecke, Dreiek-ke, L- und T-förmige Mengen sowie eine große Klasse von konvexen Mengen. Für den Km, n (Ω) gelingt uns eine vollständige Charakterisierung seiner Funk-tionen und seines starken Duals. Dabei bedienen wir uns der von Schempp für den eindimensionalen Spline-Grundraum Km (I) mit einem nichtleeren kom-pakten Intervall I der reellen Zahlengeraden R eingeführten Methode. Ebenfalls von Schempp stammen Untersuchungen über (mehrdimensionale) verallgemeinerte Spline-Grundräume, die der Kategorie der lokalkonvexen topologi-schen Vektorräume angehören. Unser Raum unterscheidet sich jedoch von den dort behandelten Räumen dadurch, daß er der Kategorie der Hilberträume angehört und zusätzlich einen reproduzierenden Kern besitzt, den wir angeben können. Insbesondere ist dieser Raum zur Anwendung der Theorie der Spline-Systeme geeignet. Die Wahl der Interpolationsfunktionale ist kaum eingeschränkt. In einem bestimmten Punkt Po aus Ω müssen lediglich das dort auf-gepflanzte Diracmaß und seine Ableitungen so vorgeschrieben werden, daß sich m. n auf Pm-1, n-1 (Ω) linear unabhängige, in der von Km, n (Ω) induzierten Topologie stetige Funktionale ergeben. Werden diese Funktionale durch weitere auf Km, n (Ω) stetige Funktionale so ergänzt, daß die Gesamtmenge linear unabhängig auf Km, n (Ω) ist, läßt sich der zugehörige Spline-Projektor SP konsturieren. Für SP gelten alle Minimaleigenschaften, und man kann einen dazugehörigen Approximationssatz vom Schoenbergerschen Typ herleiten. Dadurch ist das Spline-Interpolationsproblem auf Ω bezüglich beliebiger Dirac-maße gelöst, denn es läßt sich relativ leicht zeigen, daß diese Funktionale linear unabhängig auf Km, n (Ω) sind. Ist Ω ein Rechteck, so erhalten wir als Spezi-alfälle die Ergebnisse von Ritter und Delvos-Schloßer, für ein L-förmiges Gebiet Ω die Ergebnisse von Mansfield. Darüberhinaus gelingt es uns, einen Approxi-mationssatz vom Schoenbergerschen Typ herzuleiten, den man bei Mansfield und Ritter noch nicht findet. §4 befaßt sich mit der Frage der Berechnung solcher Spline-Funktionen. Dabei zeigt sich, welche beherrschende Rolle der in §2 angegebene reproduzierende Kern von Km, n (Ω) spielt. Denn er allein bestimmt unter Berücksichtigung der Interpolationsfunktionale die Matrix des zu lösenden Gleichungssystems. Er garantiert sowohl die Symmetrie als auch die positive Definitheit dieser Matrix, wodurch die Lösung des Systems numerisch recht einfach zu bestimmen ist. Ferner ermöglicht er die Herleitung einer geeigneten Fehlerabschätzung im Falle der Interpolation bezüglich Diracmaßen. In diesem Fall erhält man auch eine Konvergenzaussage.
Im abschließenden §5 wenden wir uns einer besseren Veranschaulichung wegen einigen einfachen Beispielen zu und beschränken uns darauf, daß Ω ein rechtwinkliges Dreieck ist. Wir untersuchen dafür sowohl die bilineare als auch die biquadratische Spline-Interpolation.