Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation

Inhaltsverzeichnis

• Einführung des Laplace-Integrals von physikalischen und mathematischen Gesichtspunkten aus.
• Einige Beispiele von Laplace-Integralen und Präzisierung des Integralbegriffs.
• Die Konvergenzhalbebene.
• Das Laplace-Integral als Transformation.
• Die Frage der eindeutigen Umkehrbarkeit der Laplace-Transformation.
• Die Laplace-Transformierte als analytische Funktion.
• Die Abbildung der linearen Substitution der Variablen.
• Die Abbildung der Integration.
• Die Abbildung der Differentiation.
• Die Abbildung der Faltung.
• Anwendungen des Faltungssatzes: Integralrelationen.
• Die Laplace-Transformation der Distributionen.
• Die Laplace-Transformierten einiger spezieller Distributionen.
• Die Abbildungsgesetze der L-Transformation für Distributionen.
• Das Anfangswertproblem der gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
• Die gewöhnliche Differentialgleichung bei Vorgabe von Anfangswerten beliebiger Ableitungen und von Randwerten.
• Die Lösungen der Differentialgleichung für spezielle Erregungen.
• Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung im Raum der Distributionen.
• Normales System von simultanen Differentialgleichungen.
• Anomales System von simultanen Differentialgleichungen unter erfüllbaren Anfangsbedingungen.
• Normales System im Raum der Distributionen.
• Anomales System unter beliebigen Anfangsbedingungen im Raum der Distributionen.
• Das Verhalten der Laplace-Transformierten im Unendlichen.
• Die komplexe Umkehrformel für die absolut konvergente Laplace-Transformation. Die Fourier-Transformation.
• Deformation des Integrationsweges in dem komplexen Umkehrintegral.
• Auswertung des komplexen Umkehrintegrals durch Residuenrechnung.
• Die komplexe Umkehrformel für die einfach konvergente Laplace-Transformation.
• Hinreichende Bedingungen für dieDarstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Funktion.
• Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Distribution.
• Bestimmung der Originalfunktion durch Reihenentwicklung der Bildfunktion.
• Die Parsevalsche Gleichung der Fourier- und der Laplace-Transformation. Die Abbildung des Produkts.
• Der Begriff der asymptotischen Darstellung und Entwicklung.
• Asymptotisches Verhalten der Bildfunktion im Unendlichen.
• Asymptotisches Verhalten der Bildfunktion an einer singulären Stelle auf der Konvergenzgeraden.
• Asymptotisches Verhalten der Originalfunktion im Unendlichen, wenn die Singularitäten der Bildfunktion von eindeutigem Charakter sind.
• Konvergenzgebiet des komplexen Umkehrintegrals mit winkelförmigem Weg und Holomorphie der dargestellten Funktion.
• Asymptotisches Verhalten der Originalfunktion im Unendlichen, wenn die Bildfunktion an der singulären Stelle mit grösstem Realteil mehrdeutig ist.
• Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Lösung durch Laplace-Transformation und durch Integrale mit winkelförmigem Weg.
• Partielle Differentialgleichungen.
• Integralgleichungen.