Grundkurs Mathematik für Ingenieure

Inhaltsverzeichnis

• 1: Grundbegriffe.
• 1.1 Die reellen Zahlen.
• 1.2 Beträge und Ungleichungen.
• 1.3 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.
• 1.4 Mathematische Beweismethoden.
• 1.5 Elementare Kombinatorik.
• 2: Polynome.
• 2.1 Definition und Homer-Schema.
• 2.2 Division von Polynomen.
• 2.3 Nullstellen von Polynomen.
• 3: Analytische Geometrie in Ebene und Raum.
• 3.1 Koordinaten und Winkelfunktionen.
• 3.2 Geraden in der Ebene.
• 3.3 Vektoren im ?2.
• 3.4 Vektoren im ?3.
• 3.5 Ebenen und Geraden im ?3.
• 4: Komplexe Zahlen.
• 4.1 Definitionen und Rechenregeln.
• 4.2 Wurzeln.
• 4.3 Polynome.
• 5: Konvergenz und Stetigkeit.
• 5.1 Zahlenmengen und Häufungspunkte.
• 5.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.
• 5.3 Stetigkeit von Funktionen.
• 5.4 Eigenschaften stetiger Funktionen.
• 6: Differentiation von Funktionen.
• 6.1 Begriff der Ableitung und Differentiationsregeln.
• 6.2 Umkehrfunktionen.
• 6.3 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
• 6.4 Anwendungen des Mittelwertsatzes.
• 7: Reihen.
• 7.1 Unendliche Reihen.
• 7.2 Potenzreihen.
• 7.3 Das Rechnen mit Potenzreihen.
• 7.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.
• 8: Taylor’sche Formel und Potenzreihenentwicklungen.
• 8.1 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen.
• 8.2 Die binomische Reihe.
• 8.3 Potenzreihen für Logarithmusfunktionen.
• 8.4 Potenzreihen der Kreis- und Hyperbelfunktionen.
• 8.5 Weitere Beispiele.
• 9: Integration von Funktionen.
• 9.1 Grundlegende Definitionen.
• 9.2 Sätze über Integrale.
• 9.3 Integrationsregeln.
• 9.4 Die Integration der rationalen Funktionen.
• 9.5 Uneigentliche Integrale.
• 9.6 Numerische Integration.
• 10: Lineare Algebra.
• 10.1 Lineare Vektorräume.
• 10.2 Lineare Abbildungen.
• 10.3 Matrizen.
• 10.4 Determinanten.
• 10.5 Lineare Gleichungssysteme.
• 10.6 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen.
• 10.7 Koordinatensysteme und der Tensorbegriff.
• 11: Differentialgeometrie auf Kurven.
• 11.1 Grundlegende Definitionen; Bogenlänge.
• 11.2 Krümmung und Flächeninhalt.
• 11.3 Bewegung im Zentralkraftfeld.
• 12: Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler.
• 12.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
• 12.2 Die Kettenregel, Differentiation höherer Ordnung.
• 12.3 Mittelwertsatz und Taylor’sche Formel.
• 12.4 Anwendungen.
• 13: Integration von Funktionen mehrerer Variabler.
• 13.1 Gebietsintegrale.
• 13.2 Substitutionsregel für mehrfache Integrale.
• 13.3 Beispiele.
• 13.4 Kurvenintegrale.
• 13.5 Oberflächenintegrale.
• 14: Vektoranalysis und Integralsätze.
• 14.1 Differentiation von Vektorfeldern.
• 14.2 Beispiele.
• 14.3 Die Integralsätze von Gauß, Stokes und Green.
• 14.4 Physikalische Deutung und Anwendungen.
• 15: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.
• 15.1 Einteilung der Dgln und Beispiele.
• 15.2 Geometrische Betrachtungen.
• 15.3 Spezielle Dgln erster Ordnung.
• 15.4 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen.
• 15.5 Approximative Lösungsverfahren.
• 16: Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme.
• 16.1 Umformung von Dgln höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung.
• 16.2 Spezielle Dgln zweiter Ordnung.
• 16.3 Lineare Differentialgleichungen.
• 16.4 Lineare Dgln mit konstanten Koeffizienten.
• 16.5 Lineare Systeme von Dgln.
• 16.6 Approximative Lösungsverfahren.
• 17: Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.
• 17.1 Beispiele von Randwertaufgaben.
• 17.2 Lineare Randwertprobleme.
• 17.3 Eigenwertprobleme.
• 17.4 Numerische Lösungsverfahren.
• 18: Fourier-Reihen.
• 18.1 Approximation von Funktionen durch trigonometrische Polynome.
• 18.2 Beispiele.
• 18.3 Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen.
• 19: Partielle Differentialgleichungen.
• 19.1 Klassifizierung und Beispielepartieller Dgln 2. Ordnung.
• 19.2 Die Poisson-Gleichung.
• 19.3 Die Wellengleichung.
• 19.4 Die Wärmeleitungsgleichung.
• 19.5 Partielle Dgln erster Ordnung.
• 19.6 Die Gleichungen der Hydrodynamik.
• 20: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.
• 20.1 Differentiation, holomorphe Funktionen.
• 20.2 Integration der holomorphen Funktionen.
• 20.3 Der Residuensatz mit Anwendungen.
• 20.4 Potenzreihen und Laurent-Reihen.
• 20.5 Die Integralformeln von Cauchy.
• 20.6 Konforme Abbildungen.
• 21: Grundbegriffe der Variationsrechnung.
• 21.1 Beispiele von Variationsaufgaben.
• 21.2 Erste Variation und Euler’sche Gleichung.
• 21.3 Lösung von Variationsaufgaben.
• Anhang über numerische Methoden.
• A 1 Interpolatorische Quadratur.
• A 2 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme.
• A 3 Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
• A 4 Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.
• Symbolverzeichnis.