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![]( "Buchcover ISBN 9783528041618")
Inhaltsverzeichnis
1 Die zwei Hauptprobleme der Infinitesimalrechnung.- 1.1 Die Berechnung der veränderlichen Geschwindigkeit.- Übungen.- 1.2 Die Berechnung des Weges bei veränderlicher Geschwindigkeit.- Übungen.- 1.3 Zusammenfassung.- Testaufgaben zu Kapitel 1.- Testfragen zur Algebra.- 2 Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden.- 2.1 Funktionen.- Übungen.- 2.2 Die Wertetabelle und das Schaubild einer Funktion.- Übungen.- 2.3 Der Anstieg einer Geraden.- Übungen.- 2.4 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 2.- Übungen zu Kapitel 2.- 3 Die Ableitung.- 3.1 Vier Variationen zu einem Thema.- Übungen.- 3.2 Die Ableitung eines Polynoms.- Übungen.- 3.3 Die Ableitung einer Funktion.- Übungen.- 3.4 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 3.- Übungen zu Kapitel 3.- 4 Grenzwerte und stetige Funktionen.- 4.1 Überblick über die Exponentialfunktion.- Übungen.- 4.2 Die Zahl e.- Übungen.- 4.3 Der Grenzwert einer reellen Funktion.- Übungen.- 4.4 Mehr über Grenzwerte und die Zahl e.- Übungen.- 4.5 Trigonometrische Grundbegriffe.- Übungen.- 4.6 Der Grenzwert von (sin ?)/? für ? ? 0.- Übungen.- 4.7 Stetige Funktionen.- Übungen.- 4.8 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zur Exponentialfunktion.- Testaufgaben zur Trigonometrie.- Testaufgaben zu Kapitel 4.- Übungen zu Kapitel 4.- Übungen zu den Kapiteln 1 bis 4.- 5 Berechnung von Ableitungen.- 5.1 Einige Bezeichnungen für die Ableitung.- Übungen.- 5.2 Die Ableitung einer Konstanten, sowie von Sinus und Kosinus.- Übungen.- 5.3 Logarithmen im Überblick.- Übungen.- 5.4 Die Ableitung der Logarithmusfunktion.- Übungen.- 5.5 Die Ableitung der Summe, der Differenz und des Produktes von Funktionen.- Übungen.- 5.6 Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen.- Übungen.- 5.7 Zusammengesetzte Funktionen.- Übungen.- 5.8 Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.- Übungen.- 5.9 Umkehrfunktionen.- Übungen.- 5.10 Die Ableitung von bx und xa.- Übungen.- 5.11 Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen.- Übungen.- 5.12 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 5 (Rechnungen).- Testaufgaben zu Kapitel 5 (Begriffe).- Übungen zu Kapitel 5.- 6 Anwendungen der Ableitung.- 6.1 Der Satz von Rolle.- Übungen.- 6.2 Der Mittelwertsatz.- Übungen.- 6.3 Die relativen Größen von ex, xn und In x.- Übungen.- 6.4 Natürliches Wachstum und natürlicher Zerfall.- Übungen.- 6.5 Ableitungen und Grenzwerte: Die graphische Darstellung von Funktionen.- 6.6 Die zweite Ableitung und das Studium von Bewegungen.- Übungen.- 6.7 Das Vorzeichen der zweiten Ableitung und seine geometrische Bedeutung.- Übungen.- 6.8 Anwendungen der Maxima- und Minimarechnung.- Übungen.- 6.9 Das Differential.- Übungen.- 6.10 Die Regel von de L’Hospital.- Übungen.- 6.11 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 6.- Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis 6 (Berechnungen).- Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis 6 (Begriffe).- Übungen zu den Kapiteln 1 bis 6.- 7 Das bestimmte Integral.- 7.1 Vier Abschätzungen.- Übungen.- 7.2 Die exakte Lösung der vier Probleme.- Übungen.- 7.3 Summationszeichen.- Übungen.- 7.4 Das bestimmte Integral über ein Intervall.- Übungen.- 7.5 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 7.- Übungen zu Kapitel 7.- 8 Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung.- 8.1 Der erste Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.- Übungen.- 8.2 Der zweite Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.- Übungen.- 8.3 Beweis der beiden Hauptsätze.- Übungen.- 8.4 Stammfunktionen.- Übungen.- 8.5 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 8.- Testaufgaben zu den Kapiteln 1 bis 8.- Übungen zu den Kapiteln 1 bis 8.- 9 Berechnung von Stammfunktionen.- 9.1 Einige Grundtatsachen.- Übungen.- 9.2 Die Substitutionsmethode.- Übungen.- 9.3 Die Verwendung einer Integraltafel.- Übungen.- 9.4 Substitution im bestimmten Integral.- Übungen.- 9.5 Partielle Integration.- Übungen.- 9.6 Berechnung der Integrale $$\int {\frac{{dx}}
{{(ax\, + \, b)^n }}} ,\,\int {\frac{{dx}}
{{(ax\, + \, bx\, + \, c)^n }}} \,{\text{und}}\,\int {\frac{{x\, dx}}
{{(ax^2 \, + \, bx\, + \, c)^n }}}
$$.- Übungen.- 9.7 Integration von rationalen Funktion: Partial-bruchzerlegungen.- Übungen.- 9.8 Integration von rationalen Funktionen in sin ? und cos ?.- Übungen.- 9.9 Trigonometrische und algebraische Substitutionen.- Übungen.- 9.10 Zusammenfassung.- Testaufgaben zu Kapitel 9.- Übungen zu Kapitel 9.- 10 Berechnung und Anwendungen bestimmter Integrale.- 10.1 Berechnung der Länge c(x) des Schnittes.- Übungen.- 10.2 Die Berechnung der Querschnittsfläche A(x).- Übungen.- 10.3 Berechnung von Flächen und Volumina mit Hilfe von Schnitten.- Übungen.- 10.4 Die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers aus seinen Schalen.- Übungen.- 10.5 Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall.- 10.6 Uneigentliche Integrale.- Übungen.- 10.7 Polarkoordinaten.- Übungen.- 10.8 Gleichungen in Parameterdarstellung.- Übungen.- 10.9 Bogenlänge und Geschwindigkeit auf einer Kurve.- Übungen.- 10.10 Fläche in Polarkoordinaten.- Übungen.- 10.11 Oberfläche eines Rotationskörpers.- Übungen.- 10.12 Die Abschätzung bestimmter Integrale.- Übungen.- 10.13 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 10.- Übungen zu Kapitel 10.- 11 Anwendungen der Ableitung.- 11.1 Implizite Ableitung.- Übungen.- 11.2 Der Zusammenhang von Zuwachsraten.- Übungen.- 11.3 Zweite Ableitung und Krümmung einer Kurve.- Übungen.- 11.4 Das Newtonsche Näherungsverfahren zur Lösung einer Gleichung.- Übungen.- 11.5 Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Tangente.- Übungen.- 11.6 Die hyperbolischen Funktionen.- Übungen.- 11.7 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 11.- Übungen zu Kapitel 11.- 12 Partielle Ableitungen.- 12.1 Rechtwinkelige Koordinaten für den Raum.- Übungen.- 12.2 Der Graph einer Gleichung.- Übungen.- 12.3 Funktionen und ihre Graphen.- Übungen.- 12.4 Partielle Ableitungen.- Übungen.- 12.5 Die Differenz ? f und das Differential df.- Übungen.- 12.6 Die Kettenregeln.- Übungen.- 12.7 Kritische Punkte.- Übungen.- 12.8 Lokale Extreme und partielle Ableitungen zweiter Ordnung.- Übungen.- 12.9 Zusammenfassung.- Begriffe.- Testaufgaben zu Kapitel 12.- Übungen zu Kapitel 12.- 13 Bestimmte Integrale über ebene Gebiete.- 13.1 Das bestimmte Integral einer Funktion über ein ebenes Gebiet.- Übungen.- 13.2 Die Beschreibung ebener Gebiete durch Koordinaten.- Übungen.- 13.3 Die Berechnung von $$
\int\limits_R {f\left( P \right)dA}
$$ in rechtwinkligen Koordinaten.- Übungen.- 13.4 Der Schwerpunkt einer ebenen Schicht.- Übungen.- 13.5 Die Berechnung von $$
\int\limits_R {f\left( P \right)dA}
$$ in Polarkoordinaten.- Übungen.- 13.6 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 13.- Übungen zu Kapitel 13.- 14 Reihen.- 14.1 Folgen.- Übungen.- 14.2 Reihen.- Übungen.- 14.3 Der Test für alternierende Reihen.- Übungen.- 14.4 Der Integraltest.- Übungen.- 14.5 Der Vergleichstest und der Quotiententest.- Übungen.- 14.6 Absolute Konvergenz.- Übungen.- 14.7 Das Rechnen mit Potenzreihen.- Übungen.- 14.8 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 14.- Übungen zu Kapitel 14.- 15 Taylorsche Reihe und der Zuwachs einer Funktion.- 15.1 Höhere Ableitungen und der Zuwachs einer Funktion.- Übungen.- 15.2 Taylorsche Reihe.- Übungen.- 15.3 Die Differentialgleichung der harmonischen Bewegung.- Übungen.- 15.4 Der Fehler bei der Abschätzung eines bestimmten Integrals.- Übungen.- 15.5 Der binomische Lehrsatz für beliebige Exponenten.- Übungen.- 15.6 Die Taylorsche Reihe von f(x; y).- Übungen.- 15.7 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 15.- Übungen zu Kapitel 15.- 16 Das Moment einer Funktion.- 16.1 Arbeit.- Übungen.- 16.2 Die Kraft auf einen Damm.- Übungen.- 16.3 Das Moment einer Funktion.- Übungen.- 16.4 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 16.- Übungen zu Kapitel 16.- 17 Mathematische Modelle.- 17.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Übungen.- 17.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- Übungen.- 17.3 Die Exponentialverteilung (Poissonverteilung) des zufälligen Verkehrs.- Übungen.- 17.4 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 17.- Andere Modelle.- Übungen zu Kapitel 17.- 18 Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete.- 18.1 Das bestimmte Integral einer Funktion über ein dreidimensionales Gebiet.- Übungen.- 18.2 Die Beschreibung räumlicher Gebiete in rechtwinkligen Koordinaten.- Übungen.- 18.3 Die Beschreibung räumlicher Gebiete in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten.- Übungen.- 18.4 Berechnung von $$
\int\limits_R {f\left( P \right)dV}
$$ in rechtwinkligen Koordinaten.- Übungen.- 18.5 Die Berechnung von $$
\int\limits_R {f\left( P \right)dV}
$$ in Zylin-der-oder Kugelkoordinaten.- Übungen.- 18.6 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 18.- Übungen zu Kapitel 18.- 19 Vektoralgebra.- 19.1 Vektoralgebra.- Übungen.- 19.2 Das Produkt eines Skalares mit einem Vektor.- Übungen.- 19.3 Das skalare Produkt zweier Vektoren.- Übungen.- 19.4 Geraden und Ebenen.- Übungen.- 19.5 Richtungsableitung und Gradient.- Übungen.- 19.6 Zwei- und dreidimensionale Determinanten.- Übungen.- 19.7 Das Vektorprodukt zweier räumlicher Vektoren.- Übungen.- 19.8 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Wichtige Ergebnisse.- Testaufgaben zu Kapitel 19.- Übungen zu Kapitel 19.- 20 Die Ableitung einer Vektorfunktion.- 20.1 Die Ableitung einer Vektorfunktion.- Übungen.- 20.2 Die Eigenschaften der Ableitung einer Vektorfunktion.- Übungen.- 20.3 Der Beschleunigungsvektor.- Übungen.- 20.4 Die Einheitsvektoren T und N.- Übungen.- 20.5 Die skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors in Richtung von T und N.- Übungen.- 20.6 Niveaukurven und Niveauflächen.- Übungen.- 20.7 Oberflächenintegrale.- Übungen.- 20.8 Lagrange-Multiplikator.- Übungen.- 20.9 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 20.- Übungen zu Kapitel 20.- 21 Integrale über skalare Felder und Vektorfelder.- 21.1 Vektorfelder und skalare Felder.- Übungen.- 21.2 Kurvenintegrale über skalare Felder und Vektorfelder.- Übungen.- 21.3 Das Integral über die Normalkomponente eines Vektorfeldes.- Übungen.- 21.4 Konservative Vektorfelder.- Übungen.- 21.5 Zusammenfassung.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zur Kapitel 21.- Übungen zu Kapitel 21.- 22 Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerungen.- 22.1 Die Greensche Formel und ihre physikalische Bedeutung.- Übungen.- 22.2 Der Beweis der Greenschen Formel.- Übungen.- 22.3 Abbildung einer Ebene in eine andere Ebene.- Übungen.- 22.4 Vergrößerungen in der Ebene: Die Jacobi-Determinante.- Übungen.- 22.5 Der Gaußsche Satz.- Übungen.- 22.6 Satz von Stokes.- Übungen.- 22.7 Zusammenfassung.- Wichtige Ergebnisse.- Begriffe und Symbole.- Testaufgaben zu Kapitel 22.- Übungen zu Kapitel 22.- 23 Das Vertauschen von Grenzwerten.- 23.1 Die Gleichheit von fxy und fyx.- Übungen.- 23.2 Die Ableitung von $$
\int\limits_a^b {f\left( {x; y} \right)dx}
$$
nach y.- Übungen.- 23.3 Differentiation und Integration von Potenzreihen.- Übungen.- 23.4 Das Vertauschen von Grenzwerten.- Übungen.- 23.5 Zusammenfassung.- Anhang A Die reellen Zahlen.- A.1 Addition und Multiplikation (die Körperaxiome).- A.2 Die Ordnungsaxiome.- A.3 Rationale und irrationale Zahlen.- Übungen.- A.4 Vollständigkeit der reellen Zahlen.- Übungen.- Anhang B Analytische Geometrie.- B.1 Analytische Geometrie und die Abstandsformeln.- Übungen.- B.2 Die Gleichungen einer Geraden.- Übungen.- B.3 Kegelschnitte.- Übungen.- B.4 Kegelschnitte in Polarkoordinaten.- Übungen.- Anhang C Theorie der Grenzwerte.- C.1 Exakte Definition eines Grenzwertes.- Übungen.- C.2 Beweis einiger Theoreme über Grenzwerte.- Übungen.- Anhang D Partialbrüche.- D.1 Partialbruchzerlegungen von rationalen Zahlen.- Übungen.- D.2 Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen.- Übungen.- Anhang E Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen.- Lösungen ausgewählter, ungeradzahliger Übungen und Testaufgaben.- 1 Die zwei Hauptprobleme der Infinitesimalrechnung.- 2 Funktionen und ihre Schaubilder; der Anstieg einer Geraden.- 3 Die Ableitung.- 4 Grenzwerte und stetige Funktionen.- 5 Berechnung von Ableitungen.- 6 Anwendungen der Ableitung.- 7 Das bestimmte Integral.- 8 Die Hauptsätze der Infinitesimalrechnung.- 9 Berechnung von Stammfunktionen.- 10 Berechnung und Anwendung bestimmter Integrale.- 11 Anwendungen der Ableitung.- 12 Partielle Ableitungen.- 13 Bestimmte Integrale über ebene Gebiete.- 14 Reihen.- 15 Taylorsche Reihe und der Zuwachs einer Funktion.- 16 Das Moment einer Funktion.- 17 Mathematische Modelle.- 18 Bestimmte Integrale über räumliche Gebiete.- 19 Vektoralgebra.- 20 Die Ableitung einer Vektorfunktion.- 21 Integrale über skalare Felder und Vektorfelder.- 22 Die Greensche Formel und ihre Verallgemeinerung.- 23 Das Vertauschen von Grenzwerten.- Anhang A Die reellen Zahlen.- Anhang B Analytische Geometrie.- Anhang C Theorie der Grenzwerte.- Anhang D Partialbrüche.- Sachwortverzeichnis.
