Lineare numerische Analysis

Inhaltsverzeichnis

• 1. Elementare Eigenschaften von Matrizen.
• 1.1. Allgemeine Theorie.
• 1.2. Matrizenrechnung.
• 2. Vektor- und Matrizennormen.
• 2.1. Grundlegende Eigenschaften.
• 3. Invertierung von Matrizen—Theorie.
• 3.1. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
• 3.2. Hauptsatz über die Existenz von Lösungen eines homogenen linearen Systems mit mehr Unbekannten als Gleichungen.
• 3.3. Dimension.
• 3.4. Isomorphie des Rn (bzw. Cn) zu jedem Vektorraum über R (bzw. C) von endlicher Dimension n.
• 3.5. Umkehrbarkeit einer linearen Abbildung von Rn in Rm (bzw. von Cn in Cm).
• 3.6. Linearität der inversen Abbildung einer umkehrbaren linearen Abbildung. Inverse Matrix.
• 3.7. Indikator der linearen Unabhängigkeit.
• 3.8. Eigenschaften der Determinanten.
• 3.9. Existenz und Konstruktion von Determinanten.
• 3.10. Formeln und Definitionen.
• 3.11. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Invertierbarkeit einer Matrix A aus ?(n, n).
• 3.12. Invertierbarkeit und Norm.
• 3.13. Lösung eines linearen Systems (Theorie).
• 4. Direkte Lösungsmethoden für lineare Systeme.
• 4.1. Diagonalsysteme.
• 4.2. Dreieckssysteme.
• 4.3. Invertierung von Dreiecksmatrizen.
• 4.4. Allgemeiner Fall: Der Gaußsche Algorithmus oder die Methode der einfachen Elimination.
• 4.5. Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines linearen Systems. Einfache Elimination; Rechenschema.
• 4.6. Verbesserter Gaußscher Algorithmus. Das Verfahren von Crout.
• 4.7. Die Methode von Jordan (Diagonalisierungsverfahren. Vollständige Elimination).
• 4.8. Orthogonalisierungsmethoden. Schmidtsches Verfahren.
• 4.9. Anwendung der allgemeinen direkten Verfahren zur Invertierung einer Matrix.
• 4.10. Berechnung von Determinanten.
• 4.11. Systeme mit symmetrischen Matrizen.
• 4.12. Teilmatrizenverfahren.
• 4.13. Ergänzungsverfahren.
• Aufgaben zu denKapiteln 1–4.
• 5. Indirekte Lösungsmethoden.
• 5.1. Iteration und Relaxation.
• 5.2. Lineare Iteration.
• 5.3. Iterationen durch Projektionsmethoden.
• 5.4. Iterationen für Systeme mit symmetrischer Matrix.
• 5.5. Bemerkungen (für den Fall nichtsymmetrischer Systeme).
• 5.6. Bemerkungen zur Konvergenz und Konvergenzverbesserung.
• 5.7. Verbesserung der Elemente einer inversen Matrix (Hotelmng-Bodewig).
• Aufgaben zu Kapitel 5.
• 6. Invariante Unterräume.
• 6.1. Einführung.
• 6.2. Invariante Unterräume.
• 6.3. Polynomtransformationen.
• 6.4. Invariante Unterräume und Polynomtransformationen.
• 6.5. Diagonalform.
• 6.6. Das charakteristische Polynom.
• 6.7. Polynommatrizen. Elementarteiler von Polynommatrizen.
• 6.8. Normalformen. Basen bezüglich einer linearen Transformation.
• 6.9. Funktionen von linearen Transformationen (Matrizenfunktionen).
• 7. Anwendung der Eigenschaften invarianter Unterräume.
• 7.1. Der Satz von Schub und Schlußfolgerungen.
• 7.2. Polare Zerlegung.
• 7.3. Matrizen mit nichtnegativen Elementen.
• 7.4. Graphentheorie und Matrizen mit positiven Elementen.
• 7.5. Vergleich der klassischen linearen Iterationen.
• 7.6. Die Young-Frankelsche Theorie der Überrelaxation.
• 7.7. Die Polynommethode. Das Verfahren von Peaceman-Rachford.
• 7.8. Approximation des Spektralradius einer Matrix über eine Norm.
• 8. Numerische Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
• 8.1. Methoden zur direkten Bestimmung der charakteristischen Gleichung.
• 8.2. Bestimmung des charakteristischen Polynoms mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen.
• 8.3. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren durch Iterationsverfahren (für nicht notwendig symmetrische Matrizen).
• 8.4. Hermitesche (bzw. symmetrische) Matrizen.
• Aufgaben zu den Kapiteln 6–8.
• Literatur.
• Namen- undSachverzeichnis.