Einführung in die Theorie der Speziellen Funktionen der Mathematischen Physik

Inhaltsverzeichnis

• 1. Grundlagen.
• 1.1. Die Schwingungsgleichung.
• 1.11. grad, div, ? in orthogonalen Koordinatensystemen.
• 1.12. Orthogonalinvarianz.
• 1.13. Bedeutung der Schwingungsgleichung.
• 1.14. Separation der Schwingungsgleichung.
• 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel.
• 1.3. Die Laplace-Transformation.
• 2. Die Gammafunktion.
• 2.1. Definition und einige Haupteigenschaften.
• 2.2. Charakterisierung durch Funktionalgleichung und logarithmische Konvexität. Folgerungen.
• 2.3. Die Darstellung von ??(z) als Laplace-Integral. Die asymptotische Reihe für log ?(z+1).
• 2.4. Die Hankeische Integraldarstellung für die reziproke Gammafunktion und Verwandtes.
• 3. Die Zylinderfunktionen.
• 3.1. Integralrelationen.
• 3.2. Die Bessel-Funktionen ganzer Indizes.
• 3.3. Die Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.
• 3.4. Hankel-Funktionen und Neumannsche Funktion. Asymptotische Reihen für x??.
• 3.5. Rekursionsformeln.
• 3.6. Wronskische Determinanten.
• 3.7. Das (ebene) Additionstheorem.
• 3.8. Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen.
• 3.9. Jv+n(x) und Jv+n((v+n)x) als Eigenfunktionen.
• 4. Die hypergeometrische Funktion. Grundlagen.
• 4.1. Differentialgleichung und Reihe.
• 4.2. Integraldarstellungen.
• 4.3. Lineare Transformationen.
• 4.4. Quadratische Transformationen.
• 4.5. „Verallgemeinerte Kugelfunktionen“.
• 5. Kugelfunktionen.
• 5.1. Allgemeines.
• 5.11. Integralrelationen.
• 5.12. Darstellung von Kugelfunktionen durch hypergeometrische Funktionen.
• 5.2. Die Legendreschen Polynome.
• 5.21. Definition. Erste Folgerungen.
• 5.22. Darstellungen derPn(x) durch die hypergeometrische Funktion.
• 5.23. Die Orthogonalität derPn(x).
• 5.3. Die Funktionen $$P_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,...;\, n = m,\, m + 1,\, m + 2,\,...)$$.
• 5.31. Definition. Orthogonalität.
• 5.32. Darstellungen der $$P_n^m (x)$$ durch die hypergeometrische Funktion.
• 5.33. Bedeutung für die Schwingungsgleichung.
• 5.34. Elementare Integraldarstellungen.
• 5.4. Die Funktionen $$Q_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,2,\,...;\, n = m,\, m + 1,\, m + 2,\,...)$$.
• 5.41. Die Funktionen $$Q_n (x)\,(n = 0,\,1,\,2,\,...)$$.
• 5.42. Die Funktionen $$Q_n^m (x)$$.
• 5.5. Die Kugelflächenfunktionen.
• 5.51. Kugelflächenfunktionen. Harmonische Polynome.
• 5.52. Die Laplacesche Reihe. Das Additionstheorem.
• 5.53. Entwicklungen von Lösungen der Schwingungs- bzw. Potentialgleichung.
• 5.6. Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes.
• 5.61. Die Funktionen Dvµ(x). Definition. Reihen.
• 5.62. Die Funktionen Bvµ (x) Definition. Reihen.
• 5.63. Integraldarstellungen.
• 5.64. Zusammenhangsformeln.
• 5.65. Die Funktionen Dvµ, Pvµ, Qvµ.
• 5.66. Wronskische Determinanten.
• 5.7. Rekursionsformeln.
• 5.8. Kugelfunktionen als Eigenfunktionen.
• 5.81. Umlaufsforderung um ?.
• 5.82. Umlaufsforderung um +1.
• 5.9. Die Polynome von GEGENBAUER.
• 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.
• 6.1. Kummersche Differentialgleichung und Reihe. Transformationsformeln.
• 6.2. Die Whittakersche Differentialgleichung.
• 6.3. Integraldarstellungen.
• 6.4. Einige Spezialfälle.
• 6.5. Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.
• 6.6. Rekursionsformeln.
• 6.7. Whittakersche Differentialgleichung: Wronskische Determinanten und Orthogonalität.
• 6.8. Whittakersche Funktionen als Eigenfunktionen.
• 7. Die „F-Gleichung“.
• 7.1. Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Gleichung“.
• 7.2. Reihenentwicklungen.
• 7.3. Differentialformeln.
• 7.4. Integralrelationen.
• 8. Biorthogonalentwicklungen analytischer Funktionen.
• 8.1. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung von Entwicklungssätzen und asymptotischen Aussagen.
• 8.11. Grundvoraussetzungen.
• 8.12. Erste Folgerungen.
• 8.13. Entwicklungssatz.
• 8.14. Asymptotische Aussagen.
• 8.15. Verschärfung des Entwicklungssatzes.
• 8.16. Bemerkung zu den Voraussetzungen über z0, z1.
• 8.17. Bemerkung zu den Annahmen (I) bis (V).
• 8.2. Reihen nach Bessel-Funktionen.
• 8.21. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n(x) (Neumannsche Reihen erster Art).
• 8.22. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n((v+n)x) (Kapteynsche Reihen).
• 8.23. Entwicklungen nach den Funktionen xv+nJv+n(x).
• 8.24. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n(x) Jµ+n(x) (Neumannsche Reihen zweiter Art).
• 8.241. Zur Gewinnung der Differentialgleichung.
• 8.242. Eigenwertprobleme für Produkte von Zylinderfunktionen.
• 8.243. Zurückführung auf 8.1.
• 8.3. Reihen nach Whittakerschen Funktionen.
• 8.31. Entwicklungen nach den Funktionen Mx,µ+n(x).
• 8.32. Entwicklungen nach Produkten Whittakerscher Funktionen.
• 8.33. Entwicklungen nach den Funktionen xv+n?(a+v+n, 1+v+n; x) und xv+n?(a, 1+v+n; x).
• 8.4. Entwicklungen nach Kugelfunktionen.
• 8.41. Entwicklungen nach den Funktionen Dv+nµ(x).
• 8.42. Entwicklungen nach den Funktionen Bv-µ-2n(x).
• 8.5. Entwicklungen nach hypergeometrischen Funktionen.
• 8.51. Entwicklungen nach den Funktionen xv+nF(a+v+n, b+v+n; 1+v+n; x) bzw. $$(\frac{x}{{1 - x}})^{v + n} F(a,\, b;\,1 + v + n;\, x)$$.
• 8.52. Entwicklungen nach „verallgemeinerten Kugelfunktionen“ Dv+nµ, x(x).
• 8.6. Asymptotische Formeln.
• 8.7. Bemerkung zu den Entwicklungssätzen.
• Literaturhinweise.