Galoissche Theorie der p-Erweiterungen

Inhaltsverzeichnis

• § 1. Proendliche Gruppen.
• 1.1. Projektiver Limes von Gruppen und Ringen.
• 1.2. Proendliche Gruppen.
• 1.3. Untergruppen und Faktorgruppen.
• 1.4. Abelsche proendliche Gruppen, Pontrjaginsche Dualitätstheorie.
• 1.5. Diskrete Moduln.
• 1.6. Die Kategorie C.
• 1.7. Induktiver Limes in C.
• § 2. Galoissche Theorie unendlicher algebraischer Erweiterungen.
• 2.1. Die Galoissche Gruppe einer unendlichen Erweiterung.
• 2.2. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie.
• § 3. Kohomologie proendlicher Gruppen.
• 3.1. Definition der Kohomologiegruppen.
• 3.2. Gruppenerweiterungen.
• 3.3. Dimensionsverschiebung.
• 3.4. Der sogenannte Satz von Shapiro.
• 3.5. Restriktion und Korestriktion.
• 3.6. Die Verlagerung.
• 3.7. Inflation und Transgression.
• 3.8. Induktiver Limes von Kohomologiegruppen.
• 3.9. Cup-Produkt.
• § 4. Freie Pro-p-Gruppen.
• 4.1. Konstruktion der freien Pro-p-Gruppen.
• 4.2. Die Magnussche Algebra.
• 4.3. Abelsche Pro-p-Gruppen.
• 4.4. Erste Charakterisierung der freien Pro-p-Gruppen.
• 4.5. Zweite Charakterisierung der freien Pro-p-Gruppen.
• § 5. Kohomologische Dimension.
• 5.1. Definition der kohomologischen Dimension.
• 5.2. Euler-Poincarésche Charakteristik.
• § 6. Darstellung einer Pro-p-Gruppe mit Hilfe von Erzeugenden und Relationen.
• 6.1. Der Erzeugendenrang.
• 6.2. Relationensysteme.
• § 7. Die Gruppenalgebra einer Pro-p-Gruppe.
• 7.1. Definition und Grundeigenschaften der vollständigen Gruppenalgebra.
• 7.2. Diskrete und kompakte G-Moduln.
• 7.3. Charakterisierung der Pro-p-Gruppen der Dimension ? 2.
• 7.4. Filtrierungen.
• 7.5. Rechenregeln für Kommutatoren und Potenzen.
• 7.6. Der Gruppenring einer freien Pro-p-Gruppe.
• 7.7. Der Satz von Golod-Šafarevi?.
• 7.8. Relationenstruktur und Cup-Produkt.
• § 8. Hilfsmittel aus der algebraischen Zahlentheorie.
• 8.1. Grundbegriffe deralgebraischen Zahlentheorie für unendliche Erweiterungen.
• 8.2. Normale Erweiterungen.
• 8.3. Der Frobenius-Automorphismus.
• 8.4. Lokale und globale Körper.
• 8.5. Die Struktur der multiplikativen Gruppe eines endlichen lokalen Körpers.
• 8.6. Klassenkörpertheorie für endliche abelsche Erweiterungen.
• 8.7. Übertragung auf unendliche abelsche Erweiterungen.
• 8.8. Der Hauptidcalsatz.
• 8.9. Kohomologie des Formationsmoduls.
• 8.10. Kohomologie der multiplikativen Gruppe.
• 8.11. Normenrestsymbol.
• § 9. Die maximale p-Erweiterung.
• 9.1. Körper der Charakteristik p.
• 9.2. Körper, welche die p-ten Einheitswurzeln enthalten.
• 9.3. Körper, welche die p-ten Einheitswurzeln nicht enthalten.
• § 10. Endliche lokale Körper.
• 10.1. Der Fall ?(p) ? p.
• 10.2. Der Fall ?(p) = p, ?(k) > 0.
• 10.3. Der Fall ?(p) = p, ?(k) = 1.
• § 11. Endliche globale Körper.
• 11.1. Die maximale p-Erweiterung.
• 11.2. Die maximale p-Erweiterung mit vorgegebenen Verzweigungsstellen.
• 11.3. Erzeugendenrang.
• 11.4. Explizite Berechnung von Erzeugenden und Relationen.
• 11.5. Vollständige Bestimmung der Struktur von Gs in Spezialfällen.
• § 12. p-Klassengruppe und p-Klassenkörperturm.
• 12.1. Ein Kriterium für zu p prime Klassenzahl.
• 12.2. Der p-Klassenkörper einer zyklischen Erweiterung vom Grade p.
• 12.3. Ein Kriterium für die Unendlichkeit des p-Klassenkörperturms.
• § 13. Die kohomologische Dimension von Gs.
• 13.1. Kohomologie der S-Einheitengruppe.
• 13.2. Der Fall ?(k) = 1.
• 13.3. Der Fall ?(k) = 0.
• Quellenhinweise.
• Literatur.
• Bezeichnungen einiger benutzter Symbole.
• Namen- und Sachverzeichnis.