Analysis 1

Inhaltsverzeichnis

• 1. Die Reellen Zahlen.
• § 1 Mengen.
• § 2 Funktionen.
• Definitionen und Beispiele.
• Die Komposition von Funktionen.
• Die Umkehrfunktion.
• Bijektive Funktionen.
• § 3 Die reellen Zahlen.
• Die Zahlengerade.
• Die arithmetischen Eigenschaften von ?.
• Ungleichungen.
• Intervalle.
• Definition und Eigenschaften der Wurzel.
• Der Betrag.
• Zusammenfassung.
• 2. Vollständige Induktion.
• § 1 Beweis durch vollständige Induktion.
• Erklärung des Summenzeichens.
• § 2 Rekursive Definitionen.
• § 3 n-te Potenz und n-te Wurzel.
• Eigenschaften der n-ten Potenz.
• Die n-te Wurzel.
• Die binomische Formel.
• 3. Die Komplexen Zahlen.
• § 1 Definition und Veranschaulichung.
• § 2 Der Körper ? der komplexen Zahlen.
• Rechengesetze in ?.
• IR als Teilmenge von ?.
• § 3 Realteil, Imaginärteil, Betrag.
• Realteil, Imaginärteil, Konjugierte.
• § 4 Die Polarform.
• § 5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl.
• 4. Reelle Und Komplexe Funktionen.
• § 1 Definition der reellen Funktionen und Beispiele.
• § 2 Monotone Funktionen.
• § 3 Beispiele aus der Wechselstromlehre.
• § 4 Rechnen mit reellen Funktionen.
• § 5 Polynome.
• Das Horner-Schema.
• Nullstellen von Polynomen.
• § 6 Komplexe Funktionen.
• Komplexe Funktionen mit reellen Argumenten.
• 5. Das Supremum.
• § 1 Schranken, Maximum, Minimum, Supremum, Infimum.
• § 2 Das Supremumsaxiom.
• § 3 Eigenschaften von Supremum und Infimum.
• § 4 Supremum und Maximum bei Funktionen.
• § 5 Dual-, Dezimal- und Hexadezimalzahlen.
• 6. Folgen.
• § 1 Definition.
• § 2 Monotonie und Beschränktheit.
• Beschränktheit.
• Monotonie.
• Monotone beschränkte Folgen.
• § 3 Konvergenz und Divergenz.
• Konvergenz.
• Divergenz.
• Rechenregeln für konvergente Folgen.
• Beispiele.
• Rekursiv definierte Folgen.
• § 4 Komplexe Folgen.
• 7. Einführung in die Integralrechnung.
• § 1 Beispiele.
• § 2 Obersumme und Untersumme.
• § 3 Die Definition des Integrals.
• § 4 Das Riemannsche Integrabilitäts- kriterium.
• Integrierbarkeit monotoner Funktionen.
• § 5 Integral als Grenzwert einer Folge.
• Das Riemannsche Summen-Kriterium.
• § 6 Numerische Integration.
• Die Rechteckregel.
• Die Trapezregel.
• Die Simpsonregel.
• § 7 Eigenschaften des Integrals.
• Eigenschaften des Integrals bezüglich des Integrationsintervalls.
• Eigenschaften bezüglich des Integranden.
• Ungleichungen für Integrale.
• 8. Reihen.
• (Zenon’s Paradoxon).
• § 2 Konvergente Reihen.
• Geometrische Reihen.
• Die “Schneeflockenkurve”.
• Rechenregeln für konvergente Reihen.
• Notwendiges Konvergenzkriterium.
• § 3 Konvergenzkriterien.
• Vergleichskriterien.
• Wurzelkriterium.
• Quotientenkriterium.
• Alternierende Reihen.
• § 4 Absolut konvergente Reihen.
• 9. Potenzreihen und Spezielle Funktionen.
• § 1 Potenzreihen.
• Konvergenz von Potenzreihen.
• Zusammenfassung: Potenzreihen als Funktionen.
• § 2 Exponentialfunktion.
• Definition der Exponentialfunktion.
• Eigenschaften der Exponentialfunktion.
• § 3 Sinus und Cosinus.
• § 4 Hyperbelfunktionen.
• 10. Stetige Funktionen.
• § 1 Stetigkeit.
• Grenzwerte von Funktionen.
• Einseitige und uneigentliche Grenzwerte.
• Stetige Funktionen.
• Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion sind stetig.
• Stetig auf [a, b]: Drei Sätze.
• § 2 Anwendung auf spezielle Funktionen.
• Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz.
• Trigonometrische Funktionen.
• § 3 Die ?-?-Definition der Stetigkeit und die Lipschitz-Stegigkeit.
• § 4 Stetigkeit und Integration.
• 11. Differentialrechnung.
• § 1 Lineare Approximation.
• § 2 Definition der Differenzierbarkeit.
• § 3 Differenzierbare Funktionen.
• § 4 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen.
• Summe, Produkt, Quotient.
• Die Kettenregel.
• Die Ableitung der Umkehrfunktion.
• Differenzierbarkeit von Potenzreihen.
• § 5 Die Ableitung komplexer Funktionen.
• § 6 Höhere Ableitungen.
• Aufgaben zum Einüben der Differentiationstechniken.
• § 7 Beispiele von Differentialgleichungen und Lösungen.
• Lösung der Schwingungsgleichung durch Potenzreihenansatz.
• § 8 Der erste Mittelwertsatz.
• Lokale Extrema.
• Der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
• Anwendungen des ersten Mittelwertsatzes.
• § 9 Die Regeln von de L’Hôpital.
• 12. Integralrechnung-Integrationstechnik.
• § 1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
• § 2 Die Stammfunktion.
• § 3 Eine andere Formulierung des Hauptsatzes.
• § 4 Integration zur Lösung einfachster Differentialgleichungen.
• § 5 Das unbestimmte Integral.
• § 6 Die Integration komplexer Funktionen.
• § 7 Integrationsmethoden.
• Integranden der Form f/f.
• Partielle Integration.
• Substitution.
• Eine Umformulierung der Substitutionsregel.
• Substitution bei bestimmten Integralen.
• § 8 Separable Differentialgleichungen.
• Lösungsmethode.
• Merkregel.
• Anfangswertprobleme.
• § 9 Integration rationaler Funktionen.
• 1. Schritt: Polynomdivision.
• 2. Schritt: Polynomzerlegung.
• 3. Schritt: Partialbruchzerlegung.
• 4. Schritt: Integration rationaler Funktionen.
• Kurze Merkregelsammlung.
• 13. Uneigentliche Integrale.
• § 1 Unbeschränktes Integrationsintervall.
• Integrationsintervall]-?,? [.
• Konvergenzkriterien.
• § 2 Unbeschränkter Integrand.
• § 3 Die Gammafunktion.
• § 4 Die Laplace-Transformation.
• Linearität und elementare Laplace-Transformation.
• Bemerkungen zum Umkehrproblem.
• Transformation von Ableitungen.
• Tranformaiton von f(at±b).
• Verschiebung des Arguments in der Bildfunktion.
• Kurze Übersicht.
• 14. Taylorpolynome Und Taylorreihen.
• § 1 Approximation durch Polynome.
• Approximation.
• Taylorpolynome.
• § 2 Restglied.
• Restglied nach Taylor.
• Anwendung: Funktionswerte berechnen 2.
• Restglied nach Lagrange.
• Restglied abschätzen.
• Anwendung: Lokale Extrema.
• § 3 Taylorreihen.
• Definition.
• Ein Gegenbeispiel.
• Konvergenz der Taylorreihe.
• Beispiel Logarithmus.
• Beispiel Arcus-Tangens.
• Beispiel Binomische Reihe.
• Lösungen der Aufgaben.