Funktionentheorie I

Inhaltsverzeichnis

• Historische Einführung.
• Zeittafel.
• A. Elemente der Funktionentheorie.
• 0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen.
• § 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.
• 1. Der Körper ?.
• 2. ?-lineare und ?-lineare Abbildungen ???.
• 3. Skalarprodukt und absoluter Betrag.
• 4. Winkeltreue Abbildungen.
• § 2. Topologische Grundbegriffe.
• 1. Metrische Räume.
• 2. Offene und abgeschlossene Mengen.
• 3. Konvergente Folgen. Häufungspunkte.
• 4. Historisches zum Konvergenzbegriff.
• 5. Kompakte Mengen.
• §3. Konvergente Folgen komplexer Zahlen.
• 1. Rechenregeln.
• 2. Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung kompakter Mengen in ?.
• § 4. Konvergente und absolut konvergente Reihen.
• 1. Konvergente Reihen komplexer Zahlen.
• 2. Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium.
• 3. Umordnungssatz.
• 4. Historisches zur absoluten Konvergenz.
• 5. Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz.
• 6. Reihenproduktsatz.
• § 5. Stetige Funktionen.
• 1. Stetigkeitsbegriff.
• 2. Die ?-Algebra ?(X).
• 3. Historisches zum Funktionsbegriff.
• 4. Historisches zum Stetigkeitsbegriff.
• § 6. Zusammenhängende Räume. Gebiete in ?.
• 1. Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff.
• 2. Wege und Wegzusammenhang.
• 3. Gebiete in ?.
• 4. Zusammenhangskomponenten von Bereichen.
• 5. Rand und Randabstand.
• 1. Komplexe Differentialrechnung.
• § 1. Komplex differenzierbare Funktionen.
• 1. Komplexe Differenzierbarkeit.
• 2. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.
• 3. Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
• § 2. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit.
• 1. Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.
• 2. Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.
• 3. Beispiele zu den Cauchy-Riemannsehen Gleichungen.
• 4.* Harmonische Funktionen.
• § 3. Holomorphe Funktionen.
• 1. Differentiationsregeln.
• 2. Die ?-Algebra ?(D).
• 3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen.
• 4. Historisches zur Notation.
• § 4. Partielle Differentiation nach x, y, z und z?.
• 1. Die partiellen Ableitungen fx, fy, fz, fz.
• 2. Beziehungen zwischen den Ableitungen ux, uy, ? x, ? y, fx, fy, fz, fz.
• 3. Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung $$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 0$$.
• 4. Kalkül der Differentialoperatoren ? und ?.
• 2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen.
• § 1. Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.
• 1. Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie.
• 2. Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie.
• 3. Geometrische Deutung der Winkeltreue.
• 4. Zwei Beispiele.
• 5. Historisches zur Winkeltreue.
• § 2. Biholomorphe Abbildungen.
• 1. Komplexe 2×2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen.
• 2. Die biholomorphe Cayleyabbildung $$IH\tilde \to IE, z \to \frac{{z - i}}{{z + i}}$$.
• 3. Bemerkungen zur Cayleyabbildung.
• 4.* Bijektive holomorphe Abbildungen von H und von E auf die geschlitzte Ebene.
• § 3. Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises.
• 1. Automorphismen von H.
• 2. Automorphismen von E.
• 3. Die Schreibweise $$\eta \frac{{z - w}}{{\bar wz - 1}}$$ Automorphismen von E.
• 4. Homogenität von E und H.
• 3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie.
• § 1. Gleichmäßige, lokal-gleichmäßige und kompakte Konvergenz.
• 1. Gleichmäßige Konvergenz.
• 2. Lokal-gleichmäßige Konvergenz.
• 3. Kompakte Konvergenz.
• 4. Historisches zur gleichmäßigen Konvergenz.
• § 2. Konvergenzkriterien.
• 1. Cauchysches Konvergenzkriterium.
• 2. Weierstraßsches Majorantenkriterium.
• § 3. Normal konvergente Reihen.
• 1. Normale Konvergenz.
• 2. Diskussion der normalen Konvergenz.
• 3. Historisches zur normalen Konvergenz.
• 4. Potenzreihen.
• § 1. Konvergenzkriterien.
• 1. Abelsches Konvergenzlemma.
• 2. Konvergenzradius.
• 3. Formel von Cauchy-Hadamard.
• 4. Quotientenkriterium.
• 5. Historisches zu konvergenten Potenzreihen.
• §2. Beispiele konvergenter Potenzreihen.
• 1. Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Eulersche Formel.
• 2. Logarithmische Reihe und Arcus tangensreihe.
• 3. Binomische Reihe.
• 4.* Konvergenzverhalten auf dem Rand.
• 5.* Abelscher Stetigkeitssatz.
• § 3. Holomorphie von Potenzreihen.
• 1. Formale gliedweise Differentiation und Integration.
• 2. Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz.
• 3. Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen.
• 4. Beispiele holomorpher Funktionen.
• § 4. Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen.
• 1. Ordnungsfunktion.
• 2. Einheitensatz.
• 3. Normalform konvergenter Potenzreihen.
• 4. Bestimmung aller Ideale.
• 5. Elementar-transzendente Funktionen.
• § 1. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.
• 1. Charakterisierung von exp z durch die Differentialgleichung.
• 2. Additionstheorem der Exponentialfunktion.
• 3. Bemerkungen zum Additionstheorem.
• 4. Additionstheoreme für cos z und sin z.
• 5. Historisches zu cos z und sin z.
• 6. Hyperbolische Funktionen.
• § 2. Epimorphiesatz für exp z und Folgerungen.
• 1. Epimorphiesatz.
• 2. Die Gleichung Kern(exp) = 2? i?.
• 3. Periodizität von exp z.
• 4. Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos z und sin z.
• 5. Cotangens- und Tangensfunktion. Arcustangensreihe.
• 6. Die Gleichung $${e^{i\frac{\pi }{2}}} = i$$.
• § 3. Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen.
• 1. Polarkoordinaten.
• 2. Einheits wurzeln.
• 3. Singulare Punkte und natürliche Grenzen.
• 4. Historisches zu natürlichen Grenzen.
• § 4. Logarithmusfunktionen.
• 1. Definition und elementare Eigenschaften.
• 2. Existenz von Logarithmusfunktionen.
• 3. Die Eulersche Folge $${(1 + \frac{z}{n})^n}$$.
• 4. Hauptzweig des Logarithmus.
• 5. Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen.
• § 5. Diskussion von Logarithmusfunktionen.
• 1. Zu den Identitäten log(wz) = log w + logz und log(exp z) = z.
• 2. Logarithmus und Arcustangens.
• 3. Potenzfunktionen. Formel von Newton-Abel.
• 4. Die Riemannsche ?-Funktion.
• B. Cauchysche Funktionentheorie.
• 6. Komplexe Integralrechnung.
• § 0. Integration in reellen Intervallen.
• 1. Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschätzung.
• 2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.
• § 1. Wegintegrale in ?.
• 1. Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege.
• 2. Integration längs Wegen.
• 3. Die Integrale $$\int\limits_{\partial B} {{{(\zeta - c)}^n}d\zeta } $$.
• 4. Historisches zur Integration im Komplexen.
• 5. Unabhängigkeit von der Parametrisierung.
• 6. Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen.
• § 2. Eigenschaften komplexer Wegintegrale.
• 2. Standardabschätzung.
• 3. Vertauschungssätze.
• 4. Das Integral $$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial B} {\frac{{d\zeta }}{{\zeta - z}}} $$.
• § 3. Wegunabhängigkeit von Integralen. Stammfunktionen.
• 1. Stammfunktionen.
• 2. Allgemeines Integrabilitätskriterium.
• 3. Integrabi-litätskriterium für Sterngebiete.
• 7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung.
• § 1. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.
• 1. Integrallemma von Goursat.
• 2. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.
• 3. Historisches zum Integralsatz.
• 4. Historisches zum Integrallemma.
• 5.* Reeller Beweis des Integrallemmas.
• 6.* Die Fresnelschen Integrale.
• § 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.
• 1. Verschärfung des Cauchyschen Integralsatzes für Sterngebiete.
• 2. Cau-chysche Integralformel für Kreisscheiben.
• 3. Historisches zur Integralformel.
• 4.* Die Cauchysche Integralformel für reell stetig differenzierbare Funktionen.
• 5.* Schwarzsehe Integralformel.
• § 3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.
• 1. Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor.
• 2. Historisches zum Entwicklungssatz.
• 3. Riemannscher Fortsetzungssatz.
• 4. Cauchysche Integralformeln für Ableitungen.
• § 4. Diskussion des Entwicklungssatzes.
• 1. Holomorphie und unendlich häufige komplexe Differenzierbarkeit.
• 2. Umbildungssatz.
• 3. Analytische Fortsetzung.
• 4. Produktsatz für Potenzreihen.
• 5. Bestimmung von Konvergenzradien.
• § 5.* Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.
• 1. Taylorreihe von Z(ez-1)-1. Bernoullische Zahlen.
• 2. Taylor reihen von z cot z, tan z und $$\frac{z}{{\sin z}}$$.
• 3. Potenzsummen und Bernoullische Zahlen.
• 4. Bernoullische Polynome.
• C. Cauchy-Weierstraß-Riemannsche Funktionentheorie.
• 8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.
• § 1. Identitätssatz.
• 1. Identitätssatz.
• 2. Historisches zum Identitätssatz.
• 3. Diskretheit und Abzählbarkeit der a-Stellen.
• 4. Nullstellenordnung und Vielfachheit.
• 5. Existenz singulärer Punkte.
• §2. Der Holomorphiebegriff.
• 1. Holomorphie, lokale Integrabilität und konvergente Potenzreihen.
• 2. Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgültige Fassung).
• 3. Cauchyscher, Riemannscher und Weierstraßscher Standpunkt. Das Glaubensbekenntnis von Weierstrass.
• § 3. Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorkoeffizienten.
• 1. Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen.
• 2. Gutzmersche Formel.
• 3. Ganze Funktionen. Satz von Liouville.
• 4. Historisches zu den Cauchy-schen Ungleichungen und zum Satz von Liouville.
• 5.* Beweis der Cauchy-schen Ungleichungen nach Weierstrass.
• §4. Konvergenzsatz von Weierstrass.
• 1. Weierstraßscher Konvergenzsatz.
• 2. Differentiationssätze für Reihen.
• 3. Weierstraßscher Doppelreihensatz.
• 4.* Eine Bemerkung Weierstrass’ zur Holomorphie.
• 5.* Eine Konstruktion von Weierstrass.
• § 5. Offenheitssatz und Maximumprinzip.
• 1. Offenheitssatz.
• 2. Maximumprinzip.
• 3. Historisches zum Maximumprinzip.
• 4. Verschärfung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes.
• 9. Miscellanea.
• § 1. Fundamentalsatz der Algebra.
• 1. Fundamentalsatz der Algebra.
• 2. Vier Beweise des Fundamentalsatzes.
• 3. Satz von Gauss über die Lage der Nullstellen von Ableitungen.
• § 2. Schwarzsches Lemma und die Gruppen Aut E, Aut H.
• 1. Schwarzsches Lemma.
• 2. Mittelpunktstreue Automorphismen von E. Die Gruppen Aut E und Aut H.
• 3. Fixpunkte von Automorphismen.
• 4. Satz von Pick.
• 5. Historisches zum Schwarzsehen und zum Pickschen Lemma.
• § 3. Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.
• 1. Logarithmische Ableitung. Existenz holomorpher Logarithmusfunktionen.
• 2. Holomorphe Wurzelfunktionen.
• 3. Die Gleichung $$f {(z) = f(c)\exp \int\limits_\gamma {\frac{{f'(\zeta )}}{{f(\zeta )}}d\zeta } } $$.
• § 4. Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform.
• 1. Biholomorphiekriterium.
• 2. Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbildungen.
• 3. Lokale Normalform.
• 4. Geometrische Interpretation der lokalen Normalform.
• § 5.* Asymptotische Potenzreihenentwicklungen.
• 2. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asymptotischer Entwicklungen.
• 3. Asymptotische Entwicklungen und Differentiation.
• 4. Satz von Ritt.
• 5. Satz von E. Borel.
• 10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.
• § 1. Isolierte Singularitäten.
• 1. Hebbare Singularitäten. Pole.
• 2. Entwicklung von Funktionen um Polstellen.
• 3. Wesentliche Singularitäten. Satz von Casorati und Weierstrass.
• 4. Historisches zur Charakterisierung isolierter Singularitäten.
• § 2.* Automorphismen punktierter Bereiche.
• 1. Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen.
• 2. Die Gruppen Aut ? und Aut ? x.
• 3. Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche.
• 4. Starre Gebiete.
• § 3. Meromorphe Funktionen.
• 1. Definition der Meromorphie.
• 2. Die ?-Algebra ?(D) der in D meromorphen Funktionen.
• 3. Division von meromorphen Funktionen.
• 4. Weitere Eigenschaften.
• 5. Die Ordnungsfunktion oc.
• 11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen.
• § 1. Allgemeine Konvergenztheorie.
• 1. Kompakte und normale Konvergenz.
• 2. Rechenregeln.
• 3. Beispiele.
• § 2. Die Partialbruchentwicklung von ? cot ? z.
• 1. Cotangens und Verdopplungsformel. Die Identität ? cot ? z = ?1(z).
• 2. Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis.
• 3. Partialbruchreihen für $$\frac{{{\pi^2}}}{{{{\sin }^2}\pi z}}$$ und $$\frac{\pi }{{\sin \pi z}}$$.
• 4.* Charakterisierung des Cotangens durch sein Additionstheorem bzw. seine Differentialgleichung.
• § 3. Die Eulerschen Formeln für $$\sum\limits_1 {\frac{1}{{{v^{2n}}}}} $$.
• 1. Entwicklung von ?1(z) um 0 und Eulersche Formeln für ?(2n).
• 2. Historisches zu den Eulerschen ?(2n)-Formeln.
• 3. Differentialgleichung für ?1 und eine Identität für Bernoullische Zahlen.
• 4. Die Eisensteinreihen $${\varepsilon_k}(z): = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{1}{{{{(z + v)}^k}}}} $$.
• §4.* Eisenstein-Theorie trigonometrischer Funktionen.
• 1. Additionstheorem.
• 2. Eisensteins Grundformeln.
• 3. Weitere Eisenstein-sche Formeln und die Identität ?1 (z) = ? cot ? z.
• 4. Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach Eisenstein.
• 12. Laurentreihen und Fourierreihen.
• § 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen.
• 1. Cauchytheorie für Kreisringe.
• 2. Laurentdarstellung in Kreisringen.
• 3. Laurententwicklungen.
• 4. Beispiele.
• 5. Historisches zum Satz von Laurent.
• § 2. Eigenschaften von Laurentreihen.
• 1. Konvergenzsatz und Identitätssatz.
• 2. Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen.
• 3. Charakterisierung isolierter Singularitäten.
• § 3. Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen.
• 1. Variante des Riemannschen Fortsetzungssatzes.
• 2. Streifengebiete und Kreisringe.
• 3. Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten.
• 4. Fourierentwicklung in Streifengebieten.
• 5. Beispiele.
• 6. Historisches zu Fourierreihen.
• §4. Die Thetafunktion.
• 1. Konvergenzsatz.
• 2. Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.
• 3. Die Fourierreihe von $${e^{ - {z^2}\pi \tau }}\partial (i\tau z,\tau )$$.
• 4. Transformationsformel der Thetafunktion.
• 5. Historisches zur Thetafunktion.
• 6. Über das Fehlerintegral.
• 13. Residuenkalkül.
• § 1. Elementare Indextheorie und allgemeine Cauchysche Integralformel.
• 1. Die Indexfunktion ind?(z).
• 2. Einfach geschlossene Wege.
• 3. Cauchysche Integralformel für nullhomologe Wege.
• § 2. Residuensatz.
• 1. Das Residuum.
• 2. Beispiele.
• 3. Residuensatz.
• 4. Historisches zum Residuensatz.
• § 3. Folgerungen aus dem Residuensatz.
• 1. Das Integral $$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\gamma {F(\zeta )\frac{{f'(\zeta )}}{{f(\zeta ) - a}}d\zeta } $$.
• 2. Anzahlformel für Null- und Polstellen.
• 3. Satz von Rouché.
• 4. Satz von Hurwitz.
• 5. Historisches zu den Sätzen von Rouché und Hurwitz.
• 14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül.
• § 1. Berechnung von Integralen.
• 0. Uneigentliche Integrale.
• 1. Trigonometrische Integrale $$\int\limits_0^{2\pi } {R(\cos \varphi, \sin \varphi )d\varphi } $$.
• 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dx} $$.
• 3. Das Integral $$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{m - 1}}}}{{1 + {x^n}}}dx} $$ für m, n ? ?, 0 < m < n.
• § 2. Weitere Integralauswertungen.
• 1. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {g(x){e^{iax}}dx} $$.
• 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_0^\infty {q(x){x^{a - 1}}dx} $$.
• 3. Die Integrale $$\int\limits_0^\infty {\frac{{{{\sin }^n}x}}{{{x^n}}}dx} $$.
• § 3. Gaußsche Summen.
• 1. Abschätzung von $$\frac{{{e^{uz}}}}{{{e^z} - 1}}$$ für 0 ? u ?1.
• 2. Berechnung der Gaußschen Summen $${G_n}: = \sum\limits_0^{n - 1} {{e^{\frac{{2\pi i}}{n}{v^2}}}} $$, n ?1.
• 3. Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt = \sqrt \pi } $$.
• 4. Fourierreihen der Bernoullischen Polynome.
• Literatur.
• Klassische Literatur zur Funktionentheorie.
• Lehrbuchliteratur zur Funktionentheorie.
• Literatur zur Geschichte der Funktionentheorie und der Mathematik.
• Symbolverzeichnis.
• Namenverzeichnis.
• Porträts berühmter Mathematiker.