Phänomenologische Rheologie

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung.
• 1.1 Definition und Zielsetzung der Rheologie.
• 1.2 Gliederung der Rheologie.
• 1.3 Struktur und Leitziele dieses Buches.
• 2 Kinematische Grundlagen.
• 2.1 Das Konzept des materiellen Kontinuums.
• 2.2 Körper, Konfiguration, Bewegung.
• 2.3 Verformungsgradient Jacobi-Determinante.
• 2.4 Lokale und substantielle zeitliche Ableitungen lokaler Größen.
• 2.5 Substantielle zeitliche Ableitungen integraler Größen.
• 3 Dynamische und thermodynamische Grundlagen.
• 3.1 Masse, Dichte, Kontinuitätsgleichung.
• 3.2 Kräfte und Spannungen im Kontinuum.
• 3.3 Impulsbilanz.
• 3.4 Drehimpulsbilanz.
• 3.5 Verformungsarbeit.
• 3.6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik.
• 3.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.
• 3.8 Das zentrale Problem der Rheologie Grenzfälle des Stoffverhaltens.
• 4 Verformungs- und Dehnungsmaße.
• 4.1 Verformung und Drehung.
• 4.2 Cauchy-Greenscher Verformungstensor.
• 4.3 Greenscher Verformungstensor.
• 4.4 Fingerscher und Piolascher Verformungstensor.
• 4.5 Relative Verformungs- und Dehnungsmaße.
• 4.6 Invarianten der Verformungs- und Dehnungstensoren.
• 4.7 Polare Zerlegung Drehungs- und Streckungstensoren.
• 4.8 Henckysches Dehnungsmaß.
• 4.9 Infinitesimales Dehnungsmaß.
• 4.10 Spezielle Verformungen.
• 4.10.1 Homogene Verformungen.
• 4.10.2 Starre Bewegungen.
• 4.10.3 Isotrope und isochore Verformungen.
• 4.10.4 Drehungsfreie Verformungen.
• 4.10.5 Einfache Scherung.
• 4.11 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen.
• 5 Verformungskinematik.
• 5.1 Objektiv äquivalente Bewegungen.
• 5.2 Verformungs- und Drehgeschwindigkeitstensor.
• 5.3 Homogene stationäre Strömungsfelder.
• 5.3.1 Verformungs- und Dehnungsmaße.
• 5.3.2 Strömungsfelder mit nilpotenten und nicht-nilpotenten Geschwindigkeitsgradienten.
• 5.3.3 Exkurs: Klassifizierung der stationären Strömungen.
• 5.3.4 Exkurs: Der Einfluß von Verformungsgeschwindigkeits- und Drehgeschwindigkeitsanteil auf die Strömungsform.
• 5.3.5 Exkurs: Die Klasse der ebenen stationären Strömungen.
• 5.4 Homogene Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.
• 5.5 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen für inhomogene Strömungsfelder.
• 5.6 Kinematische Tensoren.
• 5.6.1 Verformungsgeschichte und kinematische Tensoren.
• 5.6.2 Geschwindigkeitsgradienten höherer Ordnung.
• 5.6.3 Rivlin-Ericksen-Tensoren Kovariante kinematische Tensoren.
• 5.6.4 Kontravariante und korotatorische kinematische Tensoren.
• 5.6.5 Kinematische Tensoren für Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.
• 5.7 Konvektive und korotatorische Ableitungen von Tensoren.
• 5.8 Exkurs: Mitgeführte und mitrotierende Koordinatensysteme.
• 5.8.1 Mitgeführte Koordinatensysteme.
• 5.8.2 Differentiation von Vektorkomponenten.
• 5.8.3 Differentiation von Tensorkomponenten.
• 5.8.4 Differentiation von relativen Tensorkomponenten.
• 5.8.5 Mitrotierende Koordinatensysteme.
• 5.8.6 Regeln für das Rechnen mit konvektiven und korotatorischen Ableitungen.
• 6 Rheologische Stoffgesetze.
• 6.1 Phänomenologischer und struktureller Zugang.
• 6.2 Bestimmtheitsprinzipien.
• 6.3 Invarianzprinzipien.
• 6.4 Spezielle Stoffklassen.
• 6.4.1 Ideale Stoffe.
• 6.4.2 Einfache Stoffe.
• 6.4.3 Homogene Stoffe und homogene Verformungen.
• 6.4.4 Isotrope und anisotrope Stoffe.
• 6.4.5 Flüssigkeiten.
• 6.4.6 Stoffe, die ein thermodynamisches Gleichgewicht besitzen.
• 6.4.7 Stoffe mit inneren Zwangsbedingungen.
• 6.4.7.1 Dichtebeständige Stoffe.
• 6.4.7.2 Unstreckbare Stoffe.
• 6.4.7.3 Starre Körper.
• 7 Elastische Stoffe.
• 7.1 Der elastische Körper.
• 7.1.1 Elastizität nach Cauchy.
• 7.1.2 Der isotrope elastische Körper.
• 7.1.3 Isotrop-lineare und infinitesimale Elastizität.
• 7.1.4 Der anisotrope elastische Körper.
• 7.2 Der hyperelastische Körper.
• 7.3 Spezielle homogene Verformungen isotroper elastischer Körper.
• 7.3.1 Bilanzgleichungen für homogene Verformungen.
• 7.3.2 Isotrope Verformung.
• 7.3.3 Einfache Dehnung.
• 7.3.4 Planare Dehnung dichtebeständiger Körper.
• 7.3.5 Einfache Scherung.
• 7.4 Elastische Flüssigkeiten.
• 8 Viskose Flüssigkeiten.
• 8.1 Das Stoffgesetz der Reiner-Rivlin-Flüssigkeit.
• 8.1.1 Linear rein-viskose Flüssigkeiten.
• 8.1.2 Nicht-linear rein-viskose Flüssigkeiten.
• 8.2 Spezielle homogene Strömungen von Reiner-Rivlin-Flüssigkeiten.
• 8.2.1 Gleichförmige Dilatationsströmung.
• 8.2.2 Einfache Dehnströmung.
• 8.2.3 Einfache Scherströmung.
• 9 Viskoelastische Stoffe.
• 9.1 Einschränkung des Stoffgesetzes bezüglich der Geschichte.
• 9.2 Spannungsrelaxation.
• 9.3 Approximation durch Mehrfach-Integrale.
• 9.4 Rivlin-Sawyers- und K-BKZ-Flüssigkeiten.
• 9.5 Walters-Flüssigkeiten.
• 9.6 Rivlin-Ericksen-Flüssigkeiten Approximation für langsame Strömungen.
• 9.7 Flüssigkeitsmodelle vom Raten-Typ.
• 9.7.1 Modelle vom Maxwell- und Oldroyd-Typ.
• 9.7.2 Das Oldroydsche Acht-Konstanten-Modell.
• 9.7.3 Das Giesekus-Modell.
• 9.8 Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.
• 9.9 Einfache Dehnströmung.
• 9.9.1 Dehnviskosität bei der Approximation für langsame Strömungen.
• 9.9.2 Dehnviskosität bei der Oldroydschen Acht-KonstantenFlüssigkeit.
• 9.9.3 Dehnviskosität bei der Giesekus-Flüssigkeit.
• 9.10 Einfache Scherströmung.
• 9.10.1 Die viskosimetrischen Funktionen einer viskoelastischen Flüssigkeit.
• 9.10.2 Die viskosimetrischen Funktionen bei der Approximation für langsame Strömungen.
• 9.10.3 Die viskosimetrischen Funktionen der Acht-Konstanten- Oldroyd-Flüssigkeit.
• 9.10.4 Die viskosimetrischen Funktionen der Giesekus-Flüssigkeit.
• 9.11 Empirische Gleichungen für Scherspannung oder Scherviskosität.
• 9.12 Relaxation nach ruckartiger Verformungsbeanspruchung.
• 9.12.1 Der Relaxationsverlauf bei den Walters-Flüssigkeiten.
• 9.12.2 Der Relaxationsverlauf bei den Oldroyd-Flüssigkeiten.
• 9.12.3 Der Relaxations verlauf bei der Giesekus-Flüssigkeit.
• 9.13 Anlaufverhalten.
• 9.13.1 Der Anlaufvorgang bei Integralmodellen.
• 9.13.2 Der Anlaufvorgang bei Modellen vom Raten-Typ.
• 9.13.2.1 Johnson-Segalman-Modell.
• 9.13.2.2 Giesekus-Modell.
• 9.14 Oszillatorisches Verhalten.
• 9.14.1 Oszillationen in einem isotropen linear-elastischen Festkörper.
• 9.14.2 Oszillationen in einer Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B.
• 9.14.3 Oszillationen bei nicht-harmonisch-periodischen Verformungen.
• 10 Lineare Theorie des viskoelastischen Verhaltens.
• 10.1 Induktiver Aufbau der Theorie.
• 10.2 Hookescher Körper und newtonsche Flüssigkeit.
• 10.3 Die einfachsten viskoelastischen Stoffe.
• 10.3.1 Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit.
• 10.3.2 Grundfunktionen der Sprungart igen Beanspruchung.
• 10.3.3 Symbolische Darstellung der Stoffgesetze mittels Netzwerkschaltungen aus Federn und Dämpfern.
• 10.3.4 Exkurs: Netzwerke für elasto-visko-plastisches Stoffverhalten.
• 10.3.5 Verformungsarbeit, gespeicherter und dissipierter Anteil bei Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit.
• 10.4 Viskoelastische Stoffe mit drei und vier Parametern.
• 10.4.1 Drei-Parameter-Festkörper.
• 10.4.2 Drei-Parameter-Flüssigkeit.
• 10.4.3 Vier-Parameter-Festkörper.
• 10.4.4 Vier-Parameter-Flüssigkeit.
• 10.4.5 Mechanische Modelle und Stoffstruktur.
• 10.5 n-Parameter-Stoffe.
• 10.5.1 Die kanonischen Darstellungen.
• 10.5.2 Stoffgesetze und Grundfunktionen.
• 10.6 Stoffe mit kontinuierlichen Spektren.
• 10.6.1 Grundfunktionen und Spektren.
• 10.6.2 Exkurs: Unechte Flüssigkeiten.
• 10.7 Grundfunktionen der impulsartigen Beanspruchung.
• 10.8 Grundfunktionen der harmonisch-periodischen Beanspruchung.
• 10.8.1 Komplexe Grundfunktionen Gespeicherte und dissipierte Arbeit.
• 10.8.2 Komplexe Grundfunktionen der n-Parameter-Stoffe.
• 10.8.3 Komplexe Grundfunktionen der Stoffe mit kontinuierlichen Spektren.
• 10.8.4 Exkurs: Äquivalentes Kelvin-Voigt- und äquivalentes Maxwell-Modell.
• 10.8.5 Exkurs: Cox-Merz-Regel und verwandte Korrelationen.
• 10.9 Allgemeine Beanspruchungen.
• 10.10 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen I.
• 10.10.1 Die Volterra-Integralgleichungen.
• 10.10.2 Abschätzungen.
• 10.11 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen II.
• 10.11.1 Umrechnung mittels Laplace- und Carson-Transformation.
• 10.11.2 Exkurs: Beweis einiger für n-Parameter-Stoffe gültigen Beziehungen.
• 10.11.3 Exkurs: Der komplexe Modul der unechten Flüssigkeit.
• 10.11.4 Die Kronig-Kramersschen Beziehungen.
• 10.11.5 Umrechnung von Spannungs- und Verformungsverläufen durch Fourier-Transformation.
• 10.12Die Struktur der linearen Theorie der Viskoelastizität.
• 10.12.1 Die Funktionaloperatoren und ihre Darstellungen.
• 10.12.2 Struktur der Theorie und Probleme ihrer Anwendung.
• 10.12.3 Deduktive Ableitung der linearen Theorie.
• 10.12.4 Einige Anmerkungen zur traditionellen Darstellung der linearen Theorie.
• 10.13Formulierung der Theorie für allgemeine Beanspruchungen.
• 10.13.1 Allgemeine Operator-Gleichungen.
• 10.13.2 Operator-Gleichungen und komplexe Grundfunktionen für die einfache Dehnung.
• 10.13.3 Exkurs: Die Dehnverformung einiger einfacher Stoffe Grenzwerte des Poisson-Verhältnisses.
• 10.14Viskoelastischen Eigenschaften von Polymeren.
• 10.14.1 Die Grundfunktionen der verschiedenen Typen von Polymersystemen.
• 10.14.2 Reduzierte Variablen und Master-Kurven.
• 10.15Meßmethoden zur Erfassung der Theologischen StofFeigenschaften.
• 11 Einfache Verformungs- und Strömungsprobleme.
• 11.1 Problemstellung.
• 11.2 Torsion eines elastischen Zylinders.
• 11.3 Wellenausbreitung in viskoelastischen Stoffen.
• 11.3.1 Trans versai wellen im Halbraum.
• 11.3.1.1 Harmonisch-periodische Erregung.
• 11.3.1.2 Allgemeine Erregung.
• 11.3.1.3 Das Rayleigh-Problem.
• 11.3.2 Transversalwellen zwischen zwei Parallelplatten.
• 11.4 Erzwungene und freie Schwingungen viskoelastischer Stoffe.
• 11.4.1 Schwingungsviskosimeter.
• 11.4.2 Torsionspendel.
• 11.4.3 Exkurs: Torsionsschwingungsdämpfer.
• 11.4.4 Maxwell-Orthogonal-Rheometer.
• 11.5 Stationäre Schichtenströmungen.
• 11.5.1 Charakterisierung der stationären Schichtenströmungen.
• 11.5.2 Kegel-Platte-Strömung.
• 11.5.3 Platte-Platte-Strömung.
• 11.5.4 Couette-Strömung.
• 11.5.4.1 Weissenberg-Effekt.
• 11.5.4.2 Exkurs: Strömung in einer geneigten offenen Rinne.
• 11.5.4.3 Couette-Viskosimetrie.
• 11.5.4.4 Exkurs: Gleitlagerströmung.
• 11.5.5 Stationäre ebene Schichtenströmung.
• 11.5.6 Stationäre Kanalströmung.
• 11.5.7 Poiseuille-Strömung.
• 11.5.8 Stationäre Ringspaltströmung.
• 11.5.9 Exkurs: Bestimmung der wahren Fließkurve mit der Methode der repräsentativen Viskosität.
• 11.5.10 Exkurs: Ein- und Auslaufkorrekturen für Rohr- und Kapillarviskosimeter.
• 11.5.11 Exkurs: Strahlaufweitung und Strahlimpuls-Methode.
• 11.5.12 Exkurs: Lochdruck-Korrektur.
• 11.5.13 Stationäre Strömungen durch gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt.
• 11.5.14 Scherströmung zwischen zwei Ebenen mit Injektion und Absaugung.
• 11.5.14.1 Problemstellung.
• 11.5.14.2 Lösungen für die Oldroyd-Flüssigkeit.
• 11.5.14.3 Lösungen für die Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit.
• 11.5.14.4 Lösungen für die newtonsche Flüssigkeit.
• 11.5.14.5 Allgemeine Folgerungen.
• 11.5.14.6 Lösungsansätze mit der Approximation zweiter Ordnung.
• 11.6 Instationäre Dehnströmungen.
• 11.6.1 Die Problematik der Realisierung stationärer Dehnströmungen.
• 11.6.2 Spinnrheometer.
• 11.6.3 Fano-Strömung.
• 11.6.4 Andere Methoden zur Bestimmung der Dehnviskosität.
• 12 Anspruchsvollere Strömungsprobleme.
• 12.1 Grundgleichungen und Lösungsmethoden.
• 12.1.1 Die verallgemeinerte Navier-Stokes-Gleichung.
• 12.1.2 Die direkte Methode.
• 12.1.3 Die Methode der Zerlegung in ein Quellen- und ein Wirbelfeld Skalares Potential und Vektorpotential.
• 12.1.4 Ebene Strömungsfelder Die Lagrangesche Stromfunktion.
• 12.1.5 Rotationssymmetrische Strömungsfelder Die Stokessche Stromfunktion.
• 12.1.6 Strömungsfelder mit kreisförmigen Stromlinien Direkte Methode.
• 12.2 Störungsrechnung.
• 12.3 Hilfssätze zur Vereinfachung der Störungsrechnung.
• 12.3.1 Hilfssatz von Giesekus.
• 12.3.2 Hilfssatz von Tanner und Pipkin.
• 12.3.3 Hilfssatz von Langlois, Rivlin und Pipkin.
• 12.3.4 Reziprozitätssatz von Lorentz.
• 12.4 Teilchen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten.
• 12.4.1 Kräfte auf eine Kugel in der einfachen Scherströmung.
• 12.4.2 Bewegung und Orientierung schlanker Teilchen in der ein- fachen Scherströmung.
• 12.4.3 Überblick über weitere Effekte an suspendierten.
• Teilchen 12.4.3.1 Wechselwirkungen in viskoelastischen Flüssig- keiten.
• 12.4.3.2 Effekte in inhomogenen Strömungsfeldern.
• 12.5 Sekundärströmungen.
• 12.5.1 Unterscheidung von Primär- und Sekundärströmung.
• 12.5.2 Strömung um eine rotierende Kugel.
• 12.5.3 Strömung in einer Kegel-Platte-Anordnung.
• 12.5.4 Einströmung in eine konische Düse.
• 12.5.5 Einströmung in eine Keilspaltdüse.
• 12.5.6 Strömung durch ein gerades Rohr mit elliptischem Querschnitt.
• 12.5.7 Strömung durch ein gekrümmtes Rohr mit kreisförmigem Querschnitt.
• 12.5.8 Einige weitere Beispiele von Sekundärströmungen.
• 12.6 Strömungsinstabilitäten.
• 12.6.1 Klassifizierung der Instabilitätsphänomene.
• 12.6.2 Stabilitätsanalyse.
• 12.6.3 Instabilitäten vom Taylor-Typ.
• 12.6.3.1 Zerlegung der Strömung in Grund- und Störströmung.
• 12.6.3.2 Qualitative Vorbetrachtung.
• 12.6.3.3 Die Störungsgleichungen für die Approximation zweiter Ordnung.
• 12.6.3.4 Der Spezialfall des geraden Couette-Spaltes.
• 12.6.3.5 Stationäre und oszillatorische Instabilitäten im gekrümmten Couette-Spalt.
• 12.6.3.6 Vergleich mit experimentellen Befunden.
• 12.6.4 Instabilitäten in Düsen und an freien Oberflächen.
• 12.6.4.1 Schmelzenbruch.
• 12.6.4.2 Instabilitäten beim Einströmen in konische und Keilspaltdüsen.
• 12.6.4.3 Längsstreifige Freistrahlinstabilitäten.
• 12.6.4.4 Verzugsresonanz und Strahlzerfall.
• 12.6.4.5 Instabilitäten an ablaufenden Flüssigkeitsfilmen.
• 12.6.5 Beispiele von weiteren Instabilitätstypen.
• 12.6.5.1 Instabilitäten bei der Umströmung von Körpern.
• 12.6.5.2 Thermo-viskoelastische Instabilitäten.
• 12.6.6 Turbulenz.
• 12.6.6.1 Klassifizierung.
• 12.6.6.2 Viskoelastische Turbulenz.
• 12.6.6.3 Widerstandsverminderung.
• 12.6.6.4 Beeinflussung der Turbulenzstruktur.
• 12.7 Schlußbemerkung.
• A Anhang: Mathematische Hilfsmittel.
• A. l Vektoren und Tensoren.
• A. l. l Vektoralgebra.
• A. l.1.1 Definitionen.
• A. l 1.4 Euklidischer Ortsraum und Koordinatentransformation.
• A. l 1.5 Exkurs: Komplexe Vektoren.
• A.1.2 Tensoralgebra.
• A. l.2.1 Tensoren zweiter Stufe als lineare Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst.
• A 1.2.2 Komponenten eines Tensors.
• A 1.2.3 Spezielle Tensoren, Produkte und Zerlegungen von Tensoren.
• A. l.2.6 Cayley-Hamilton-Gleichung Tensor-Polynome und isotrope Tensorfunktionen.
• A. l.2.7 Isotrope Tensorfunktionen und Invarianten von mehreren Tensoren.
• A. l.2.8 Darstellung von Vektoren und Tensoren mittels nicht-orthonormierter Basen.
• A.1.3 Vektor- und Tensoranalysis.
• A.3.1 Vektor- und Tensorfelder Linien-, Flächen- und Volumenintegrale.
• A 1.3.2 Räumliche Differentiation von Feldfunktionen.
• A.1.3.3 Integralsätze.
• A.1.3.4 Vektor- und Tensoranalysis in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystemen.
• A.1.3.5 Vektor- und Tensoranalysis in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen.
• A.1.3.6 Vektor- und Tensoranalysis in Zylinder- und Kugelkoordinaten.
• A.2 Laplace- und Fourier-Transformation.
• A.2.1 Heaviside- und Dirac-Funktion.
• A.2.2 Laplace-Transformation.
• A.2.3 Fourier-Transformation.