Vorlesungen über höhere Mathematik

Inhaltsverzeichnis

I. Ergänzungen aus der reellen Analysis.- § 1. Funktionen von beschränkter Variation. Stieltjesintegrale.- 1. Klassen reeller Funktionen.- 2. Funktionen von beschränkter Variation.- 3. Rektifizierbare Kurven.- 4. Der Integralbegriff von Stieltjes.- 5. Folgerungen und Anwendungen.- § 2. Fourierreihen und Fouriersches Integraltheorem.- 1. Summation unendlicher Reihen durch arithmetische Mittel.- 2. Der Satz von Féjer.- 3. Der Satz von Jordan.- 4. Der Approximationssatz von Weierstrass.- 5. Das Fouriersche Integraltheorem.- 6. Das Dirichletsche Integral.- 7. Das Riemannsche Lemma.- 8. Folgerungen.- § 3. Asymptotische Entwicklungen. Die Eulersche Summenformel.- 1. Eine Vorbemerkung.- 2. Asymptotische Darstellungen.- 3. Die Konvergenzfrage.- 4. Das Rechnen mit asymptotischen Reihen.- 5. Differentiation und Integration asymptotischer Reihen.- 6. Bernoullische Polynome.- 7. Nullstellen und Extrema der Bernoullischen Polynome.- 8. Die Eulersche Summenformel.- 9. Die Eulersche Konstante.- 10. Die asymptotische Entwicklung der Fakultät z!.- § 4. Orthogonale Funktionensysteme.- 1. Begriff und Bedeutung.- 2. Ergänzungen. Die Schwarzsche Ungleichung.- 3. Orthogonalisierung gegebener Funktionenfolgen.- 4. Die Besselsche Ungleichung. Vollständige Funktionensysteme.- 5. Der Hilbertsche Raum und der Satz von Fischer-Riesz.- II. Integralgleichungen und Laplacetransformation.- § 5. Grundzüge der allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen zweiter Art.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Produktkerne. Die Fredholmschen Sätze.- 3. Der lösende Kern. Folgerungen für beliebige Kerne.- 4. Die Neumannsche Reihe.- 5. Zur Konvergenz der Neumannschen Reihe. Ein allgemeines Auflösungsverfahren.- 6. Die Neumannsche Reihe für die Volterrasche Integralgleichung.- 7. Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse.- 8. Das Fredholmsche Verfahren.- 9. Der Konvergenzbeweis.- 10. Folgerungen. Die Fredholmschen Sätze.- § 6. Symmetrische Kerne.- 1. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines symmetrischen Kerns.- 2. Die Existenz eines Eigenwertes.- 3. Die Berechnung des kleinsten Eigenwertes.- 4. Das Problem der Reihenentwicklung einer gegebenen Funktion nach den Funktionen eines Orthogonalsystems.- 5. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der iterierten Kerne.- 6. Der Hilbertsche Entwicklungssatz.- 7. Anwendung auf die Lösung der inhomogenen Gleichung.- 8. Definite Kerne und der Mercersche Satz.- § 7. Ergänzungen.- 1. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern.- 2. Enskogs Methode zur Auflösung der inhomogenen Integralgleichungen mit beliebigem Kern.- 3. Hilberts Methode der unendlich vielen Veränderlichen.- 4. Singuläre Integralgleichungen.- § 8. Die Laplacetransformation.- 1. Funktionaltransformationen.- 2. Konvergenzfragen.- 3. Die Bildfunktionen einiger einfacher Funktionen.- 4. Allgemeine Eigenschaften der Laplacetransformation.- 5. Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.- 6. Der Faltungssatz.- 7. Partielle Differentialgleichungen.- 8. Die allgemeine Umkehrformel.- 9. Zur Berechnung des Integrals (66).- 10. Das Darstellungsproblem und der Eindeutigkeitssatz.- 11. Integralgleichungen vom Faltungstyp.- 12. Die Abelsche Integralgleichung.- 13. Entwicklung von f(t) für kleine Werte von t.- 14. Eine asymptotische Entwicklung von f(t) für große t.- III. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.- § 9. Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet.- 1. Vorbemerkungen. Existenz der Lösungen.- 2. Die Singularitäten der Lösungen.- 3. Stellen der Bestimmtheit.- 4. Reihenentwicklung der Lösungen in der Umgebung einer Stelle der Bestimmtheit.- 5. Die Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 6. Die Riemannsche und die hypergeometrische Differentialgleichung.- 7. Hypergeometrische Polynome.- 8. Stellen der Unbestimmtheit.- 9. Die konfluente hypergeometrische Funktion.- § 10. Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Selbstadjungierte Differentialausdrücke zweiter Ordnung.- 3. Die Nullstellen der Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung..- 4. Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 5. Eigenwerte und Eigenfunktionen der homogenen Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 6. Das Oszillationstheorem von F. Klein.- 7. Die Greensche Funktion.- 8. Die Lösung des inhomogenen Problems.- 9. Der Zusammenhang mit den linearen Integralgleichungen und der Entwicklungssatz.- 10. Die Greensche Funktion zweiter Art.- 11. Singularitäten am Rand.- § 11. Kugelfunktionen und Legendresche Polynome.- 1. Räumliche Kugelfunktionen.- 2. Kugelflächenfunktionen.- 3. Zonale Kugelfunktionen und Legendresche Polynome.- 4. Die erzeugende Funktion der Legendreschen Polynome. Rekursionsformeln.- 5. Integraldarstellungen.- 6. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen.- 7. Legendresche Funktionen zweiter Art.- 8. Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen.- 9. Die numerische Quadratur von Gauss.- § 12. Die Besselschen Funktionen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Darstellung der Lösungen durch bestimmte Integrale.- 3. Die Hankeischen Funktionen.- 4. Eine Integraldarstellung der Besselfunktion J(in?)(x).- 5. Zusammenhang mit den Hankeischen Funktionen.- 6. Die Rekursionsformeln.- 7. Die Integraldarstellung von Sommerfeld.- 8. Eine erzeugende Funktion bei ganzzahligem Index ?.- 9. Eine weitere Integraldarstellung der Hankeischen Funktionen.- 10. Asymptotische Entwicklungen.- 11. Das Sattelpunktsverfahren und die Formeln von Debye.- 12. Die Nullstellen der Besselfunktionen.- 13. Der Fall rein imaginärer Argumente.- § 13. Weitere spezielle Funktionen.- 1. Elliptische Koordinaten.- 2. Die Lamésche Differentialgleichung und die Laméschen Funktionen.- 3. Gestreckt-rotationselliptische Koordinaten.- 4. Abgeplattet-rotationselliptische Koordinaten.- 5. Elliptische Zylinderkoordinaten.- 6. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 7. Die Differentialgleichungen von Hill und Mathieu.- IV. Grundzüge der Potentialtheorie.- § 14. Die Newtonschen Potentiale.- 1. Die Laplacesche Differentialgleichung in der Ebene und im Raum.- 2. Die Spiegelung an Kreis und Kugel und das Verhalten harmonischer Funktionen im Unendlichen.- 3. Das kugelsymmetrische Feld.- 4. Physikalische Bedeutung.- 5. Die Regularität des Potentials % MathType! MTEF!2!1!+-
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U = \frac{I}{\gamma }$$.- 6. Felder mit zylindrischer Symmetrie. Das logarithmische Potential.- 7. Die Newtonschen Potentiale kontinuierlicher Belegungen.- 8. Beispiele.- 9. Dipol und Doppelfläche.- 10. Die logarithmischen Potentiale kontinuierlicher Belegungen.- § 15. Die Greenschen Formeln. Eindeutigkeits- und Mittelwertsätze.- 1. Vorbemerkungen. Unendliche Gebiete.- 2. Die Greenschen Formeln.- 3. Die Eindeutigkeitssätze.- 4. Die dritte Greensche Formel und die Regularität der harmonischen Funktionen.- 5. Die Mittelwertsätze.- 6. Sätze über logarithmische Potentiale.- § 16. Das Verhalten der Potentiale in Quellpunkten.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Sätze über uneigentliche Integrale.- 3. Potential und Feldvektor einer räumlichen Belegung.- 4. Die Potentiale einfacher und doppelter Belegungen auf Flächen.- 5. Der Feldvektor einer einfachen Belegung.- 6. Der Feldvektor einer Doppelfläche.- 7. Die zweiten Ableitungen des Raumpotentials und die Gleichung von Poisson.- 8. Das Verhalten der logarithmischen Potentiale in Quellpunkten.- § 17. Allgemeine Vektorfelder.- 1. Die geometrische Deutung der Vektorfelder.- 2. Das Vektorpotential. Die Zerlegung des allgemeinen Feldes in ein quellenfreies und ein wirbelfreies Feld.- 3. Die Äquivalenz einer Doppelfläche mit einem Wirbelring.- V. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie.- § 18. Die Greensche Funktion.- 1. Problemstellung.- 2. Die Greensche Funktion für die erste Randwertaufgabe im Raum.- 3. Die Symmetrie der Greenschen Funktion.- 4. Die Greensche Funktion für die zweite und dritte Randwertaufgabe.- 5. Das ebene Problem.- § 19. Lösung der ersten Randwertaufgabe für Kreis und Kugel. Die Sätze von Harnack.- 1. Die erste Randwertaufgabe für den Kreis und das Poissonsche Integral in der Ebene.- 2. Die erste Randwertaufgabe für die Kugel. Das Poissonsche Integral im Raum.- 3. Die Sätze von Harnack.- 4. Entwicklungen nach Kugelfunktionen.- 5. Konvergenz auf der Kugel.- 6. Harmonische Fortsetzung.- 7. Singuläre Punkte harmonischer Funktionen.- 8. Niveaulinien und Niveauflächen.- § 20. Die Existenzsätze.- 1. Zurückführung auf Integralgleichungen.- 2. Beschränktheit des iterierten Kerns K3(X, Y).- 3. Die Existenzsätze.- 4. Die erste Randwertaufgabe für den allgemeinen unendlichen Bereich.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis.