Vorlesungen über höhere Mathematik

Inhaltsverzeichnis

• I. Zahlen und Zahlenfolgen.
• § 1. Der Zahlbegriff.
• 1. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion.
• 2. Die ganzen und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme.
• 3. Die irrationalen und die reellen Zahlen.
• 4. Die komplexen Zahlen.
• 5. Vorzeichen und absoluter Betrag.
• 6. Die Fakultät.
• 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.
• 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.
• § 2. Punkt- und Zahlenmengen.
• 1. Der Mengenbegriff.
• 2. Die Zahlengerade.
• 3. Einige wichtige Begriffe und Sätze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.
• 4. Abzählbare Mengen.
• *5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen.
• *6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen.
• *7. Untere und obere Grenze einer Menge.
• *8. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass.
• § 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.
• 1. Begriff der Folge. Beispiele.
• 2. Konvergente und divergente Folgen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge.
• 3. Sätze über konvergente Folgen. Monotone Folgen.
• 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.
• 5. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.
• 6. Die Intervallschachtelung.
• 7. Der Boreische Überdeckungssatz.
• § 4. Spezielle Zahlenfolgen.
• 1. Ein Hilfssatz.
• 2. Die Potenz.
• 3. Die geometrische Reihe.
• 4. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of a , a >0 $$.
• 5. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of v $$.
• 6. Die Folge $$ {u_v} = 1 + \frac{1} {{1!}} + \frac{1} {{2!}} + ... + \frac{1} {{v!}} $$.
• 7. Die Folge $$ {v_v} = {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^v} $$.
• 8. Das arithmetisch-geometrische Mittel.
• § 5. Kombinatorik.
• 1. Permutationen.
• 2. Kombinationen ohne Wiederholung.
• 3. Kombinationen mit Wiederholung.
• 4. Variationen ohne Wiederholung.
• 5. Variationen mit Wiederholung.
• II. Der Funktionsbegriff.
• § 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.
• 1. Cartesische Koordinaten in der Ebene.
• 2. Cartesische Koordinaten im Raum.
• 3. Der Begriff der Funktion.
• 4. Beispiele.
• 5. Gleichung und Identität.
• 6. Einige Hinweise.
• 7. Beschränkte Funktionen.
• 8. Monotone Funktionen.
• 9. Gerade und ungerade Funktionen.
• 10. Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion.
• 11. Implizite Funktionen.
• 12. Einteilung der Funktionen einer Veränderlichen.
• § 7. Grenzwert und Stetigkeit.
• 1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.
• 2. Endgültige Definition des Grenzwertes einer Funktion.
• 3. Zusammenhang mit dem Grenzwert von Zahlenfolgen.
• 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert.
• 5. Uneigentliche Grenzwerte.
• 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.
• 7. Zusammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.
• 8. Die Potenz mit rationalem Exponenten.
• 9. Die Größenordnung von Funktionen.
• 10. Das Rechnen mit Grenzwerten.
• § 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.
• 1. Der Begriff der Stetigkeit.
• 2. Einige Definitionen.
• 3. Die Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.
• 4. Beschränktheit der stetigen Funktionen.
• 5. Der Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.
• 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von Bolzano).
• 7. Die Eindeutigkeit der inversen Funktion.
• 8. Gleichmäßige Stetigkeit.
• 9. Funktionenfolgen.
• 10. Gleichmäßige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.
• 11. Die Regula falsi.
• III. Integral und Ableitung..
• § 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.
• 1. Allgemeines zum Begriff des Flächeninhalts.
• 2. Normalbereiche.
• 3. Das bestimmte Integral einer Funktion.
• 4. Beweis der Ungleichung J* ? J* Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen.
• *6. Beweis der Beziehungen (8) bis (10).
• § 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.
• 1. Sätze über bestimmte Integrale.
• 2. Die Integrierbarkeit der monotonen Funktionen.
• 3. Die Integrierbarkeit stückweise stetiger beschränkter Funktionen.
• 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.
• 5. Integration der Potenz mit rationalem Exponenten.
• § 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.
• 1. Das Tangentenproblem.
• 2. Differenzenquotient und Ableitung.
• 3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit.
• 4. Die Bedeutung der Differentiale.
• 5. Die Geschwindigkeit eines bewegten Punktes.
• 6. Das Newtonsche Verfahren.
• § 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.
• 1. Differentiation einer Summe.
• 2. Differentiation eines Produktes.
• 3. Differentiation eines Quotienten.
• 4. Differentiation zusammengesetzter Funktionen (Kettenregel).
• 5. Differentiation der inversen Funktion.
• 6. Differentiation der Potenz x? für rationale ?.
• 7. Begriff des Extremums. Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.
• 8. Bestimmung des größten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.
• 9. Randextrema.
• 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
• 11. Der Satz von Rolle und der Beweis des Mittelwertsatzes.
• 12. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
• 13. Lösung einer Gleichung f(x) = 0 durch Iteration.
• § 13. Das unbestimmte Integral.
• 1. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.
• 2. Die Ableitung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.
• 3. Das unbestimmte Integral und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.
• 4. Eine Deutung der Integrationskonstanten.
• 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem Integral.
• 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurvenscharen.
• 7. Begriff der Differentialgleichung.
• 8. Differentiation und Integration als inverse Rechenoperationen.
• 9. Physikalische Anwendungen.
• 10. Graphische Integration.
• 11. Graphische Differentiation.
• § 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.
• 1. Einfachste Integrationsregeln.
• 2. Bemerkung über die Systematik der Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen.
• 3. Partielle Integration.
• 4. Rekursionsformeln.
• 5. Transformation eines Integrals.
• 6. Integrale gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich.
• 7. Zusammenhang der Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit jenen der Integralrechnung.
• 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.
• 9. Integration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.
• § 15. Höhere Ableitungen.
• 1. Begriff der höheren Ableitungen einer Funktion.
• 2. Höhere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion.
• 3. Höhere Ableitungen der inversen Funktion.
• 4. Höhere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel).
• 5. Ein zweiter Beweis des binomischen Satzes.
• IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..
• §16. Logarithmus und Exponentialfunktion.
• 1. Das Integral $$ \int\limits_1^x {\frac{{du}} {u}} $$.
• 2. Der natürliche Logarithmus.
• 3. Die natürliche.
• 1 Exponentialfunktion.
• 4. Die allgemeine Exponentialfunktion.
• 5. Die allgemeine Potenz.
• 6. Der allgemeine Logarithmus.
• 7. Grenzwerte, die mit Logarithmus und Exponentialfunktion zusammenhängen.
• 8. Logarithmische Differentiation.
• 9. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion.
• 10. Stetige Verzinsung.
• 11. Zerfall der radioaktiven Substanzen.
• 12. Stromverlauf beim Ein-und Ausschalten eines elektrischen Stromkreises.
• 13. Funktionsskala und Rechenschieber.
• § 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.
• 1. Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels.
• 2. Definition der Kreisfunktionen.
• 3. Die Additionstheoreme.
• 4. Die harmonische Schwingung.
• 5. Differentiation und Integration der Kreisfunktionen.
• 6. Definition der zyklometrischen Funktionen.
• 7. Differentiation der zyklometrischen Funktionen.
• 8. Polarkoordinaten in der Ebene.
• 9. Polarkoordinaten im Raum.
• 10. Zylinderkoordinaten.
• 11. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.
• §18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.
• 1. Definition der Hyperbelfunktionen.
• 2. Geometrische Deutung.
• 3. Additionstheoreme und verwandte Formeln.
• 4. Differentiation und Integration der Hyperbelfunktionen.
• 5. Die Umkehrfunktionen.
• 6. Die Integrale $$ {J_1} = \int {\frac{{dx}} {{a{x^2} + bx + c}}} $$ und $$ {J_2} = \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {a{x^2} + bx} + c}}} $$.
• V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.
• §19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.
• 1. Die Parameterdarstellung einer Kurve.
• 2. Differentiation einer Funktion in Parameterdarstellung. Glatte und stückweise glatte Kurven.
• 3. Vektoren in der Ebene.
• 5. Der Beschleunigungsvektor.
• 6. Rationale Kurven.
• § 20. Unbestimmte Formen.
• 1. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zähler und Nenner verschwinden (Bernoullische Regel).
• 2. Unbestimmte Formen.
• 3. Der Fall $$ \frac{\infty } {\infty } $$.
• 4. Der Fall 0. ?.
• 5. Die Fälle I?, 0° und ?°.
• 6. Der Fall ? — ?.
• 7. Die Ordnung der Nullstellen und ?-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.
• § 21. Uneigentliche Integrale.
• 1. Integrale mit nicht beschränktem Integranden.
• 2. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz.
• 3. Uneigentliche Integrale mit nicht beschränktem Integrationsbereich.
• § 22. Die Taylorsche Formel.
• 1. Die Taylorsche Formel für ein Polynom.
• 2. Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion.
• 3. Darstellung des Restgliedes durch ein Integral.
• 4. Abschätzung des Restgliedes.
• 5. Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.
• 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Extremum einer Funktion von einer Veränderlichen.
• 7. Bemerkungen über die Taylorschen Polynome und die Berührung von Kurven.
• § 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.
• 1. Die Formeln von Wallis.
• 2. Die Formel von Stirling.
• 3. Beweis der Stirlingschen Formel.
• 4. Das Integral $$ \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx $$.
• § 24. Der Flächeninhalt ebener Bereiche.
• 1. Zurückführung auf Normalbereiche.
• 2. Der Flächeninhalt als Kurvenintegral.
• 3. Beispiele.
• 4. Weitere Formeln für den Flächeninhalt.
• 5. Die Invarianz des Flächeninhalts.
• 6. Flächeninhalt in Polarkoordinaten.
• § 25. Die Bogenlänge einer Kurve.
• 1. Begriff der Bogenlänge.
• 2. Darstellung der Bogenlänge durch ein bestimmtes Integral.
• 3. Das Bogenelement.
• 4. Die Bogenlänge in Polarkoordinaten.
• 5. Beispiele.
• § 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.
• 1. Das Volumen eines Drehkörpers und der Inhalt einer Drehfläche.
• 2. Statisches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches.
• 3. Statisches Moment und Schwerpunkt eines Kurvenbogens.
• 4. Das statische Moment eines Drehkörpers.
• 5. Trägheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen.
• 6. Beispiele.
• 7. Das Stieltjes-Integral.
• § 27. Numerische Integration.
• 1. Die Rechtecksformeln.
• 2. Die Trapezformeln.
• 3. Keplers Faßregel und die Simpsonsche Formel.
• 4. Fehlerabschätzung.
• § 28. Die komplexen Zahlen.
• 1. Die Gaußsche Zahlenebene.
• 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.
• 3. Die Formeln von Moivre und Euler.
• 4. Folgerungen aus der Eulerschen Formel.
• 5. Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.
• VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.
• § 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.
• 1. Grundbegriffe.
• 2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.
• 3. Nullstellen reeller Polynome.
• 4. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome. Mehrfache Nullstellen.
• 5. Das Hornersche Divisionsverfahren.
• 6. Das graphische Verfahren von Lill.
• § 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.
• 1. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation.
• 2. Die Lagrangesche Interpolationsformel.
• 3. Steigungen und Steigungsschema.
• 4. Die Newtonsche Interpolationsformel.
• 5. Fehlerabschätzung. Die Taylorsche Formel als Sonderfall der Newtonschen Interpolationsformel.
• 6. Die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe.
• 7. Die Newtonsche Formel für äquidistante Argumente. Das Differenzenschema.
• § 31. Algebraische Gleichungen.
• 1. Allgemeines.
• 2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung.
• 3. Die kubische Gleichung.
• 4. Die biquadratische Gleichung.
• 5. Reziproke Gleichungen.
• § 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen.
• 1. Vorbemerkungen.
• 2. Die Cartesische Zeichenregel.
• 3. Schranken für die Wurzeln.
• 4. Trennung der Wurzeln und numerische Auflösung.
• 5. Das Graeffesche Verfahren.
• § 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.
• 1. Rationale Funktionen.
• 2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.
• 3. Die Integration der rationalen Funktionen.
• 4. Abelsche Integrale.
• 5. Die quadratische Irrationalität.
• 6. Zwei Sonderfälle.
• 7. Die bilineare Irrationalität.
• 8. Binomische Integrale.
• 9. Integration gewisser transzendenter Funktionen.
• VII. Unendliche Reihen.
• § 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.
• 2. Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.
• 3. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.
• 4. Das Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen.
• 5. Absolut konvergente Reihen.
• 6. Das Rechnen mit Reihen.
• 7. Unbedingt und bedingt konvergente Reihen.
• 8. Multiplikation von Reihen.
• 9. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.
• § 35. Konvergenzkriterien.
• 1. Reihenvergleichung.
• 2. Das Quotientenkriterium.
• 3. Die binomische Reihe.
• 4. Das Wurzelkriterium.
• 5. Die Reihe $$ \sum\limits_{v = 1}^\infty {\frac{1} {{{v^\alpha }}}} $$ mit ?> 0.
• § 36. Reihen und Funktionen.
• 1. Gleichmäßige Konvergenz.
• 2. Stetigkeit der Summenfunktion.
• 3. Integration unendlicher Reihen.
• 4. Differentiation unendlicher Reihen.
• § 37. Potenzreihen.
• 1. Der Fundamentalsatz über Potenzreihen.
• 2. Bestimmung des Konvergenzradius nach Cauchy.
• 3. Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.
• 4. Die Taylorsche Reihe.
• 5. Die Methode des unbestimmten Ansatzes.
• 6. Noch einmal die binomische Reihe.
• § 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.
• 1. Die geometrische Reihe.
• 2. Die logarithmische Reihe.
• 3. Die Reihe für arctan x.
• 4. Die Expon entialreihe.
• 5. Die Reihen für sin x, cos x, sh x und ch x.
• § 39. Fouriersche Reihen.
• 1. Periodische Funktionen und harmonische Analyse.
• 2. Trigonometrische Reihen.
• 3. Fouriersche Reihen.
• *4. Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion mit beschränkter und stückweise stetiger Ableitung.
• *5. Darstellbarkeit einer solchen Funktion durch ihre Fourierreihe.
• *6. Fouriersche Reihen unstetiger Funktionen.
• 7. Ergänzende Bemerkungen. Beispiele.
• 8. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens und die Produktentwicklung des Sinus.
• 9. Das Gibbssche Phänomen.
• 10. Trigonometrische Interpolation.
• Anhang. Lösungen der Aufgaben.
• Namenverzeichnis (Biographische Notizen).