Analytische und konstruktive Differentialgeometrie

Inhaltsverzeichnis

• Grundbegriffe der Vektorrechnung.
• § 1. Der Vektorbegriff.
• § 2. Addition von Vektoren.
• § 3. Innere (skalare) Multiplikation.
• § 4. Äußere (vektorielle) Multiplikation von zwei Vektoren, Determinante von drei Vektoren, Grundformeln.
• § 5. Vektorrechnung und Koordinatengeometrie.
• § 6. Linear abhängige Vektoren.
• § 7. Punkte, Gerade und Ebene in Vektorsymbolik.
• § 8. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter.
• A. Analytische Differentialgeometrie\ Vorbemerkung.
• I. Raumkurven.
• § 9. Differenzierbare Kurven, Tangente, Bogenlänge.
• § 10. Schmiegebene.
• §11. Torsen.
• § 12. Die Ableitungsgleichungen des Kegels, konische Krümmung.
• § 13. Krümmung, Torsion, konische Krümmung einer Raumkurve; Frenetsche Formeln.
• § 14. Krümmungskreis und Schmiegkugel.
• § 15. Die kanonischen Gleichungen einer Raumkurve, das Vorzeichen der Torsion.
• § 16. Berührung höherer Ordnung.
• II. Längen, Winkel und Flächeninhalte auf krummen Flächen; flächentreue und konforme Abbildungen.
• § 17. Flächenbegriff, Berührebene.
• § 18. Längenmessung, erste Differentialform.
• § 19. Winkelmessung.
• § 20. Parametertransformation, Flächenmessung.
• § 21. Abbildung einer Fläche auf eine andere.
• § 22. Flächentreue Abbildungen.
• § 23. Konforme Abbildungen krummer Flächen.
• § 24. Konforme Abbildungen in der Ebene.
• III. Krümmung der Flächen.
• § 25. Die zweite Differentialform, Schmieglinien.
• § 26. Die Meusniersche Formel.
• § 27. Die Eulersche Formel der Flächentheorie.
• § 28. Die Dupinsche Indikatrix.
• § 29. Gaußsche und mittlere Krümmung, Krümmungslinien.
• § 30. Konjugierte Tangenten.
• § 31. Die Ableitungsgleichungen von Weingarten.
• § 32. Die Normalentorsen, Zentraflächen.
• § 33. Die sphärische Abbildung einer Fläche.
• § 34. Begleitendes Dreibein eines Streifens; geodätische Krümmung, Normalkrümmung, geodätische Torsion.
• § 35. Die Christoffel-Symbole.
• § 36. Die Ableitungsgleichungen von Gauß.
• § 37. Die Integrierbarkeitsbedingung von Gauß.
• § 38. Die Integrierbarkeitsbedingungen von Mainardi und Codazzi.
• § 39. Dreifach orthogonale Flächensysteme.
• § 40. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung.
• § 41. Die isotropen Kurven einer Fläche.
• § 42. Schiebflächen, Minimalflächen.
• IV. Biegung von Flächen.
• § 43. Isometrie und Biegung; einige Biegungsinvarianten.
• § 44. Die Biegungsinvarianz der geodätischen Krümmung.
• § 45. Geodätische Linien.
• § 46. Verebnung von Torsen.
• § 47. Geodätische Parallelverschiebung; biegungsinvariante Erklärung der geodätischen Krümmung.
• § 48. Geodätische Parameter, geodätische Polarkoordinaten.
• § 49. Die Integralformel von Bonnet-Gauß.
• § 50. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.
• § 51. Eine Abbildung der inneren Geometrie der Flächen konstanter negativer Krümmung auf die Ebene.
• § 52. Die Identität der Begriffe „Entfernungskreise“und „geodätische Kreise“auf Flächen konstanter Krümmung.
• V. Windschiefe Strahlflächen und Ergänzungen zur Kurventheorie.
• § 53. Begleitendes Dreikant einer windschiefen Strahlfläche, Drall einer Erzeugenden.
• § 54. Die Grundinvarianten: Krümmung, Torsion und Striktion; Ableitungsgleichungen.
• § 55. Berührungskorrelation; einige besondere Strahlflächen.
• §56. Die begleitenden Torsen der Strahlflächen und Raumkurven.
• § 57. Die Zentraltangentenfläche.
• § 58. Die Zentralnormalenfläche.
• § 59. Die Orthogonalkurven der Erzeugenden einer Strahlfläche; Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten von Raumkurven.
• § 60. Existenzbeweis für Kegel, Kurven und Strahlflächen mit vorgeschriebenen Grundinvarianten.
• § 61. Bertrandsche Kurvenpaare und die ihnen verwandten Strahlflächenpaare.
• § 62. Normalkrümmung, geodätische Krümmung und geodätische Torsion der Striktionslinie.
• § 63. Gaußsche und mittlere Krümmung, Schmieglinien, Krümmungslinien und geodätische Linien auf Strahlflächen.
• § 64. Verbiegung des Katenoids auf die Wendelfläche.
• § 65. Mindingsche Verbiegungen einer windschiefen Strahlfläche.
• VI. Strahlkongruenzen.
• § 66. Die Kummerschen Differentialformen.
• § 67. Grenzpunkte, Hauptrichtungen, Formel von Hamilton.
• § 68. Brennpunkte, Brennebenen, Brennflächen.
• § 69. Isotrope Strahlkongruenzen.
• VII. Strahlkomplexe.
• § 70. Plückersche Linienkoordinaten.
• § 71. Der lineare Strahlkomplex; das Nullsystem.
• § 72. Gewindekurven.
• § 73. Windschiefe Gewindestrahlflächen; Liesche Schmieglinie.
• § 74. Nichtlineare Strahlkomplexe; Komplexkurven, Komplexkegel, berührende Gewinde.
• B. Konstruktive Differentialgeometrie.
• VIII. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der Kurven und Torsen.
• § 75. Erzeugung von Punkten, Tangenten und Schmiegebenen durch Grenzübergänge; Dualitätsprinzip.
• § 76. Die einfachsten Singularitäten an Kurven.
• § 77. Zentralprojektion von Raumkurven und ebene Schnitte von Tangentenflächen.
• § 78. Definitionen des Krümmungskreises.
• § 79. Verhalten der Kurvenkrümmung bei Zentral- und Parallelprojektion.
• § 80. Affinnormalen ebener Kurven.
• § 81. Konische Krümmung und Krümmungskegel der Kegelflächen.
• § 82. Krümmungskegel, konische Krümmung und Torsion von Raumkurven.
• IX. Konstruktive Ergänzungen zur Flächentheorie.
• § 83. Der Meusniersche Satz.
• § 84. Eulersche Formel, oskulierendes Scheitelparaboloid.
• § 85. Konstruktion der Tangenten in einem Doppelpunkt der Schnittkurve zweier Flächen.
• § 86. Die Sätze von Mannheim und Blaschke, duale Gegenstücke zu den Sätzen von Meusnier und Euler.
• § 87. Die kubische Indikatrix und die Affinnormalen der Normalschnitte in einem Flächenpunkt.
• § 88. Die kubische Indikatrix einer Fläche 2. Ordnung.
• § 89. Die Tangenten im Tripelpunkt der Schnittkurve einer Fläche mit einer Schmieg-F2; die Darbouxschen Tangenten.
• § 90. Der Satz von Transon.
• § 91. Die Flächenafunnormale und der Kegel von B. Su.
• X. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der windschiefen Strahlflächen.
• § 92. Konstruktive Einführung der Berührungskorrelation und des Dralls.
• §93. Die vier Geschwindigkeitsfunktionen; Klassifizierung der Erzeugenden.
• § 94. Konstruktion der Schmiegtangenten und der Schmiegquadrik einer Erzeugenden; die Schmieglinien einer Strahlfläche.
• § 95. Konstruktion der Hauptkrümmungsradien einer Strahlfläche.
• § 96. Konstruktion der Lieschen Schmieglinie einer Gewindestrahlfläche.
• § 97. Konstruktion der Schmieglinien einer Netzfläche.
• XI. Konstruktive Differentialgeometrie besonderer Flächen und Kurven.
• § 98. Drehflächen; verallgemeinerte Drehflächen, Gesimsflächen.
• § 99. Schiebflächen.
• § 100. Schraubungen; allgemeine Schraubflächen.
• § 101. Zyklische Schraubflächen.
• § 102. Strahlschraubflächen.
• § 103. Das Plückersche Konoid.
• § 104. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloids.
• § 105. Böschungslinien und Böschungsflächen.
• § 106. Drehkegelloxodromen.
• § 107. Böschungslinien auf Drehflächen 2. Ordnung mit lotrechter Achse.
• § 108. Pseudogeodätische Linien auf Zylindern.
• XII. Das konforme und das projektive Bild der nichteuklidischen Geometrien auf den Flächen konstanter Gaußscher Krümmung.
• § 109. Das projektive Bild der elliptischen Geometrie.
• § 110. Das konforme Bild der elliptischen Geometrie.
• § 111. Das konforme und das projektive Bild der hyperbolischen Geometrie.
• § 112. Anwendung der Cayley-Kleinschen Maßbestimmung in der Theorie der Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung.
• XIII. Kinematische Differentialgeometrie.
• § 113. Bewegung einer Ebene in sich, Geschwindigkeitsvektor, Momentanpol.
• § 114. Überlagerung von Bewegungen, relative Bewegungen und Geschwindigkeiten.
• § 115. Rastpolkurve, Gangpolkurve, kinematische Erzeugung der Ellipse und der Pascalschen Schnecken.
• § 116. Gleiten längs einer ebenen Kurve, Traktrix von Huygens und Kettenlinie.
• § 117. Die Euler-Savarysehe Konstruktion der Krümmungskreise der Punktbahnen.
• § 118. Konstruktion der Krümmungskreise der Hüllbahnen.
• § 119. Sphärische Bewegungen, Bewegungen im Bündel.
• § 120. Allgemeine Bewegungen im Raum, Überlagerung von Momentanbewegungen.
• § 121. Die Momentanschraubungen der begleitenden Dreikante der Strahlflächen und Raumkurven.
• § 122. Rast- und Gangachsenfläche.
• Namenverzeichnis.