Lineare Modelle mit fehlerbehafteten Daten

Inhaltsverzeichnis

• 0 Einleitung.
• 0.1 Fehler in den Variablen.
• 0.2 Ursachen und Ausma? von Fehlern.
• 0.3 Modelle mit fehlerbehafteten Daten (FV-Modelle).
• 0.4 Gliederung des Textes.
• 1 Das lineare Modell mit fehlerbehafteten Daten.
• 1.1 Modellgleichungen.
• 1.1.1 Einfaches FV-Modell.
• a. Grundform.
• b. Symmetrische Form.
• 1.1.2 Multiples FV-Modell.
• c. Scheinvariablenbereinigung.
• 1.2 Spezifikation der Me? fehler.
• 1.2.1 Systematische Me? fehler.
• a. Arten systematischer Fehler.
• b. Fehlerbereinigung durch Datentransformation.
• 1.2.2 Stochastische Me? fehler.
• a. Das einfache FV-Modell.
• b. Das multiple FV-Modell.
• c. Ergänzende Annahmen für das einfache FV-Modell.
• d. Ergänzende Annahmen für das multiple FV-Modell.
• e. Beispiele aus der Ökonometrie, Agrarökonomie und Astronomie.
• 1.3 Auswirkungen von Me? fehlern.
• 1.3.1 Auswirkungen systematischer Me? fehler auf Schätzung, Strukturkonstanz, Prognose.
• a. Verzerrte KQ-Schätzung des absoluten Gliedes bei konstanten Fehlern.
• b. Verzerrte KQ-Schätzung bei proportionalen Fehlern.
• c. Approximation eines proportionalen Fehlers durch einen konstanten Fehler.
• d. KQ-Schätzung im multiplen FV-Modell bei linearen Fehlern.
• e. Scheinbarer Strukturbruch und verzerrte Prognosen.
• 1.3.2 Auswirkungen stochastischer Me? fehler auf die Schätzung.
• a. Inkonsistenz der KQ-Schätzung.
• b. Beispiele aus der Ökonometrie.
• c. Asymptotisch verzerrte Korrelationsschätzung.
• 1.3.3 Weitere Auswirkungen stochastischer Me? fehler.
• a. Scheinbarer Strukturbruch.
• b. Unterschiede in Zeitreihen- und Querschnittsanalysen.
• c. Asymptotische Autokorrelation in den KQ-Residuen.
• d. Asymptotische serielle Korrelation zwischen KQ-Residuen und exogener Variablen.
• e. Nichtlinearität der empirischen Regression.
• f. Verfälschung von Testergebnissen zur Granger-Kausalität.
• 1.4 Das FV-Modell mit Zusatzinformation.
• 1.4.1 Informationen über die Me? fehlervarianzen.
• a. Kenntnis einer Me? fehlervarianz.
• b. Kenntnis des Quotienten der Me? fehlervarianzen.
• c. Kenntnis beider Me? fehlervarianzen.
• 1.4.2 Replikationen.
• 1.4.3 Informationen über die latenten exogenen Variablen.
• a. Kenntnis einer Instrumentvariablen.
• b. Anordnung und Gruppenbildung.
• c. Information über die Verteilung der latenten exogenen Variablen.
• 1.5 Erweiterungen des FV-Modells und verwandte Modelle.
• 1.5.1 Multivariates FV-Modell.
• c. Interdependentes FV-Modell und I-Modell.
• d. MIMIC-, FVE- und FVI-Modell.
• 1.5.2 Allgemeine Modelle mit latenten Variablen.
• a. LISREL-Modell.
• b. Das faktoranalytische Modell (FA-Modell).
• c. Beispiel zum FA-Modell aus den Erziehungswissenschaften.
• 1.5.3 Verwandtschaft zwischen FV-Modell und anderen multivariaten Modellen.
• a. Dualität zwischen FV-Modell und FA-Modell.
• b. Verwandtschaft zwischen FVE-Modell und I-Modell.
• 1.5.4 Dynamisches FV-Modell.
• 1.5.5 Berksons Modell.
• a. Modellbeschreibung.
• b. Beispiele aus der Physik und der Ökonometrie.
• 2 Das Identifikationsproblem.
• 2.1 Der Identifikationsbegriff im einfachen FV-Modell.
• 2.1.1 Die Strukturvariante des einfachen FV-Modells.
• b. Die Strukturvariante für Modelle mit Querschnittsdaten.
• 2.1.2 Identifikationsbegriffe.
• a. Identifizierbarkeit einer Modellstruktur.
• b. Identifizierbarkeit eines Modellparameters.
• c. M2- Identifizierbarkeit eines Modellparameters.
• 2.2 Identifikation im einfachen FV-Modell ohne Zusatzinformation.
• 2.2.1 Momentengleichungssystem für die empirischen Variablen.
• a. Ableitung des Momentengleichungssystems.
• b. Lösbarkeit des Momentengleichungssystems.
• 2.2.2 Restriktionen für die Modellparameter.
• a. Restriktionen für den Parameter ?.
• b. Restriktionen für die Fehlervarianzen.
• 2.3 Identifikation im einfachen FV-Modell mit Zusatzinformation.
• 2.3.1 Informationen über die Fehlervarianzen.
• a. Kenntnis einer Fehlervarianz.
• b. Kenntnis des Quotienten zweier Fehlervarianzen.
• c. Kenntnis zweier Fehlervarianzen.
• d. Beispiel aus der Ökonometrie: Identifikation und Schätzung von Friedmans Modell.
• 2.3.2 Informationen über die latenten exogenen Variablen.
• c. Informationen über die Verteilung der latenten exogenen Variablen.
• d. Identifikation mit Momenten dritter Ordnung.
• e. Beispiel aus der Ökonometrie: Identifikation von Engelkurven.
• 2.4 Identifikation und konsistente Schätzung im einfachen FV-Modell.
• 2.4.1 Das einfache FV-Modell ohne Zusatzinformation.
• a. Strukturvariante.
• b. Funktionalvariante.
• 2.4.2 Das einfache FV-Modell mit Zusatzinformation.
• 2.5 Identifikation im multiplen und multivariaten FV-Modell.
• 2.5.1 Multiples FV-Modell.
• a. Momentengleichungen.
• b. Identifikation bei nichtnormalverteilten exogenen Variablen.
• c. Parameterrestriktionen.
• 2.5.2 Multivariates FV-Modell.
• 3 Schätzung der Modellparameter.
• 3.1 Grundlagen für die Ableitung von Schätzverfahren.
• 3.1.1 Statistische Grundlagen.
• 3.1.2 Schätzung im einfachen FV-Modell.
• a. Grenzmomente.
• b. Momentenschätzer.
• 3.1.3 Schätzung im multiplen FV-Modell.
• 3.2 Anwendung der KQ-Methode auf das FV-Modell.
• 3.2.1 KQ-Schätzung im einfachen FV-Modell.
• a. Schätzung der Regressionskoeffizienten.
• b. Schätzung der Koeffizienten der Umkehrregression.
• c. Schätzung der Fehlervarianz ?2u.
• 3.2.2 KQ-Schätzung im multiplen FV-Modell.
• a. Schätzung des Regressionskoeffizientenvektors.
• b. Schätzung der Fehlervarianz ?2u.
• c. Der Spezialfall zweier exogener Variablen.
• d. Bereinigung von fehlerfrei gemessenen Regressoren.
• e. Beispiele aus der Ökonometrie.
• 3.3 Schätzung mit Informationen über die Fehlervarianzen.
• 3.3.1 Schätzung bei Kenntnis der Kovarianzmatrix ? der Fehler in den exogenen Variablen (V-Schätzung).
• a. V-Schätzung im einfachen FV-Modell.
• b. V-Schätzung als ML-Schätzung.
• c. V-Schätzung im multiplen FV-Modell.
• e. Beispiele aus der Soziologie und der Medizin.
• f. Das interdependente FV-Modell.
• 3.3.2 Schätzung bei Kenntnis der Kovarianzmatrix ?0 aller Fehlervariablen bis auf einen Proportionalitätsfaktor (P-Schätzung).
• a. P-Schätzung im einfachen FV-Modell.
• b. P-Schätzung als ML-Schätzung; Prinzip der gewogenen kleinsten Quadrate.
• c. P-Schätzung im multiplen FV-Modell.
• d. P-Schätzung im multiplen FV-Modell als ML-Schätzung.
• e. ML-Schätzung bei Heteroskedastie.
• f. Beispiele aus der Biometrie und der Geologie.
• 3.3.3 Schätzung bei vollständiger Kenntnis der Kovarianzmatrix ?0.
• 3.3.4 Verallgemeinerungen.
• 3.4 Replikationen.
• 3.4.1 Das FV-Modell mit Replikationen (R-Modell).
• a. Formale Struktur des Modells.
• b. Interpretation des R-Modells und Beispiel aus der Biometrie.
• 3.4.2 Schätzung mit Replikationen (R-Schätzung).
• a. R-Schätzung der systematischen Variablen und der Me? fehlervarianzen.
• b. R-Schätzung der übrigen Parameter im Fall ? 0 bei konstanter Replikationszahl.
• c. R-Schätzung der Regressionskoeffizienten im Fall ?? 0 bei konstanter Replikationszahl.
• d. R-Schätzung der Regressionskoeffizienten im Fall ? ? 0 bei in Paaren anfallenden Beobachtungen.
• e. ML-Schätzung im Fall ? ? 0 bei in Paaren anfallenden Beobachtungen.
• f. Beispiele aus dem Eichwesen und der Medizin.
• 3.5 Schätzung mit Instrumentvariablen.
• 3.5.1 Instrumentvariablenschätzung (IV-Schätzung).
• a. IV-Schätzung im einfachen FV-Modell.
• b. IV-Schätzung im multiplen FV-Modell.
• c. Bereinigung von fehlerfrei gemessenen Regressoren.
• d. Erweiterung des Instrumentvariablenbegriffs.
• e. Beispiele zur IV-Schätzung aus der Ökonometrie.
• 3.5.2 Schätzung im FVE-Modell.
• a. Das FVE-Modell.
• b. Der zweistufige KQ-Schätzer.
• c. Der zweistufige KQ-Schätzer als V-Schätzer.
• d. Der Varianzkomponentenschätzer.
• e. Der P-Schätzer im FVE-Modell.
• f. Anwendung von Schätzmethoden für das I-Modell auf das FVE-Modell.
• g. ML-Schätzung im FVE-Modell.
• h. Das R-Modell mit ? ? 0 als FVE-Modell.
• i. Beispiele aus der Ökonometrie und der Biochemie.
• 3.5.3 Schätzung im FVI-Modell.
• a. Das FVI-Modell.
• b. ML-Schätzung im FVI-Modell.
• c. Beispiele aus dem Eichwesen und der Geophysik.
• 3.6 Schätzung mit Informationen über die Grö? enordnung der latenten exogenen Variablen.
• 3.6.1 Gruppierungsverfahren (G-Schätzung).
• a. G-Schätzung nach Wald.
• b. Ein Beispiel aus der Ökonometrie.
• c. G-Schätzung mit zwei Gruppen bei weitergehender A-priori-In-formation.
• d. G-Schätzung mit drei Gruppen.
• e. G-Schätzung mit beliebiger Gruppenzahl.
• f. G-Schätzung im multiplen FV-Modell.
• 3.6.2 Schätzung bei Kenntnis der Grö? enrangordnung.
• a. Das Schätzverfahren.
• b. Ein Beispiel aus der Luft- und Raumfahrt.
• 3.7 Instrumentvariablenschätzung in dynamischen und interdependenten FV-Modellen.
• 3.7.1 IV-Schätzung in dynamischen FV-Modellen.
• a. Das allgemeine Modell.
• b. Das rein autoregressive Modell.
• c. Das rein autoregressive Modell mit autokorrelierten Störvariablen.
• d. Das autoregressive Modell mit einer nicht autokorrelierten exogenen Variablen.
• e. Das autoregressive Modell mit autokorrelierten exogenen Variablen.
• 3.7.2 Die IV-Methode bei interdependenten FV-Modellen.
• a. Schätzung einer Modellgleichung bei beschränkter Information.
• b. Schätzung bei voller Information.
• 3.8 Schätzung mit Informationen über die Verteilung der latenten exogenen Variablen.
• 3.8.1 Schätzung mit A-priori-Informationen über Momente dritter Ordnung (M-Schätzung).
• a. M-Schätzung bei Normalverteilung einer Fehlervariablen.
• b. M-Schätzung bei fehlender Normalverteilungsannahme.
• c. Kombination von M-Schätzern.
• 3.8.2 Schätzung mit A-priori-Informationen über Kumulanten höherer Ordnung (K-Schätzung).
• a. Einführung des Kumulantenbegriffs.
• b. K-Schätzung bei Normalverteilung beider Fehlervariablen.
• c. K-Schätzung bei fehlender Normalverteilungsannahme.
• 3.8.3 Schätzverfahren ohne Momente.
• 4 Der Schätzfehler.
• 4.1 Grundlagen für die Berechnung asymptotischer Verteilungen.
• 4.1.1 Grenzwertsätze für skalare Zufallsvariablen.
• 4.1.2 Grenzwertsätze für vektorielle Zufallsvariablen.
• a. Weitere Varianten des Zentralen Grenzwertsatzes.
• b. Hilfssätze.
• 4.2 Der asymptotische Schätzfehler.
• 4.2.1 Die KQ-Schätzung.
• a. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers im einfachen FV- Mo- dell.
• b. Approximative Varianz und approximativer MQF.
• c. Multiples FV-Modell.
• 4.2.2 Die V-Schätzung.
• a. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers im einfachen FV-Modell.
• b. Approximative Varianz, approximativer MQF und Vergleich mit der KQ-Schätzung.
• 4.2.3 Die P-Schätzung.
• b. Multiples FV-Modell.
• c. Der Fall vollständig bekannter Kovarianzmatrix ?0.
• 4.2.4 Die R-Schätzungen.
• a. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers im Falle ? ? 0 (T ? ?).
• b. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers im Falle ? ? (T ? ?).
• c. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers bei paarweise anfallenden Beobachtungen und ? ? 0 (T ? ?).
• d. Asymptotische Verteilung des Schätzfehlers bei paarweise anfallenden Beobachtungen und ? ? 0 (T ? ?).
• 4.2.5 Die IV-Schätzung.
• c. Erweiterter Instrumentvariablenbegriff.
• 4.2.6 Die G-Schätzungen.
• a. Asymptotische Verteilung des Fehlers der G-Schätzung nach Wald.
• b. Asymptotische Verteilung des Fehlers der G-Schätzung nach Nair und Bartlett.
• 4.2.7 Die M- und K-Schätzungen.
• a. Asymptotische Verteilung des Fehlers einer allgemeinen Klasse von M- und K-Schätzungen.
• b. Asymptotische Verteilung des Fehlers spezieller M- und K-Schätzungen.
• 4.2.8 Kombinierte Schätzungen.
• 4.3 Verteilungen von Schätzern bei endlichen Stichproben.
• 4.3.1 Grundlagen.
• a. Stand der Kleine-Stichproben-Forschung.
• b. Die Wishartverteilung.
• 4.3.2 Der KQ-Schätzer.
• a. Exakte Dichtefunktion.
• b. Erwartungswert.
• c. MQF und Varianz.
• 4.3.3 Der orthogonale KQ-Schätzer.
• b. Momente.
• 4.3.4 IV-Schätzung.
• a. Einfaches FV-Modell mit einer Instrumentvariablen.
• b. Einfaches FVE-Modell.
• c. Multiples FVE-Modell.
• 4.4 Konfidenzbereiche und Tests für das einfache FV-Modell.
• 4.4.1 Approximative Konfidenzintervalle und Tests.
• 4.4.2 Exakter Konfidenzbereich und Test bei bekanntem Quotienten der Fehlervarianzen.
• a. Gemeinsamer Test für ? und ?.
• b. Test für ?.
• c. Konfidenzbereich für ?.
• 4.4.3 Exakter Konfidenzbereich und Test bei Kenntnis beider Fehlervarianzen.
• 4.4.4 Exakter Konfidenzbereich und Test im Replikationsfall.
• 4.4.5 Exakter Konfidenzbereich und Test bei Kenntnis einer Instrument-variablen.
• d. Der Spezialfall der G-Schätzung.
• 5 Spezifikationstests und Prognose.
• 5.1 Modellspezifikationstests.
• 5.1.1 Problemstellung.
• 5.1.2 Spezielle Spezifikationstests.
• a. Ein Test von Wu.
• b. Andere Tests.
• 5.2 Prognose.
• 5.2.1 Problemstellung.
• 5.2.2 Das erste Prognoseproblem.
• c. Ein Beispiel aus der Geophysik.
• 5.2.3 Das zweite Prognoseproblem.
• Lösungen zu den Übungsaufgaben.
• Autorenverzeichnis.