Vektoralgebra

Inhaltsverzeichnis

• § 1. Die Vektordefinition und einfachere Gesetzmäßigkeiten.
• 1.1 Skalare und Vektoren.
• Skalare.
• Vektoren.
• Der Betrag eines Vektors.
• 1.2 Die Summe und die Differenz von Vektoren.
• Eigenschaften der Vektorsumme.
• Das Kraftpolygon.
• Die Vektordifferenz.
• 1.3 Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar..
• Zur Definition.
• Beispiele aus der Physik.
• Das distributive Gesetz.
• 1.4 Einsvektoren.
• 1.5 Die lineare Abhängigkeit von Vektoren.
• Die Kollinearität.
• Die Komplanarität.
• Vektoren im dreidimensionalen Raum.
• Der Beweis durch Vektorrechnung, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren.
• Das Raumgitter.
• 1.6 Die Zerlegung eines Vektors in Komponenten.
• Definition der Vektorzerlegung.
• Zerlegung in orthogonale Komponenten.
• 1.7 Das kartesische Koordinatensystem.
• Die Kennzeichnung des kartesischen Systems durch seine Koordinatenvektoren.
• Ortsvektoren.
• Vektorgleichungen in kartesischen Koordinaten.
• Die Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten in kartesischen Koordinaten.
• 1.8 Übungsaufgaben Nr. 1 bis Nr. 14.
• § 2. Produkte zweier Vektoren.
• 2.1 Das skalare Produkt.
• Definitionsmöglichkeiten von Produkten von Vektoren.
• Ein Beispiel aus der Physik.
• Die Definition des skalaren Produktes.
• Eigenschaften des skalaren Produktes.
• Eigenschaften, die das skalare Produkt nicht hat.
• Sonderfälle von skalaren Produkten.
• Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des skalaren Produktes.
• Die skalaren Produkte der Koordinatenvektoren.
• Die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.
• 2.2 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum skalaren Produkt.
• Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie.
• Satz: Die Summe der Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate über den vier Seiten.
• Die Gleichung einer Ebene.
• Laues Interferenzbedingung.
• Die Millerschen Indizes.
• Die Phase einer ebenen Welle.
• 2.3 Die Komponentendarstellung des skalaren Produktes.
• 2.4 Die Transformation kartesischer Komponenten.
• Die Verschiebung des Koordinatensystems.
• Die Drehung des Koordinatensystems.
• Ein Beispiel: Drehung des Koordinatensystems um die z-Achse.
• 2.5 Übungsaufgaben zum skalaren Produkt Nr. 15 bis Nr. 34.
• 2.6 Das dyadische Produkt.
• Eigenschaften des dyadischen Produktes.
• 2.7 Die Komponentendarstellung des dyadischen Produktes.
• 2.8 Das Vektorprodukt.
• Ein Beispiel aus der Geometrie.
• Die Definition des Vektorproduktes.
• Eigenschaften des Vektorproduktes.
• Eigenschaften, die das Vektorprodukt nicht hat.
• Sonderfälle von Vektorprodukten.
• Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des Vektorproduktes.
• Die Vektorprodukte der Koordinatenvektoren.
• Die vektorielle Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.
• 2.9 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum Vektorprodukt.
• Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
• Der Abstand zweier Geraden.
• Der infinitesimale Winkel.
• Die magnetische Kraft auf eine bewegte elektrische Punktladung.
• Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.
• Das Drehmoment einer Kraft.
• Das Drehmoment eines Kräftepaares.
• 2.10 Die Komponentendarstellung des Vektorproduktes.
• 2.11 Übungsaufgaben zum Vektorprodukt und zum dyadischen Produkt Nr. 35 bis Nr..
• § 3. Die Differentiation von Vektoren nach Skalaren.
• 3.1 Die Definition des Differentialquotienten eines Vektors nach einem Skalar.
• Der Differentialquotient als Grenzwert.
• Ein Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor.
• Die Differentiation einer Vektorsumme.
• Die Differentiation eines Produktes aus Vektor und Skalar.
• Ein Beispiel: Differentiation eines Vektors, der als Produkt aus Betrag und Einsvektor dargestellt ist.
• Die Differentiation eines Vektors in kartesischen Koordinaten.
• Ein Beispiel: die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten.
• Ein Beispiel für mehrfache Differentiation: der Beschleunigungsvektor.
• 3.2 Die Differentiation von Produkten von Vektoren.
• Die Differentiation des skalaren Produktes.
• Die Differentiation des Vektorproduktes.
• 3.3 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.
• Die Frenetschen Formeln.
• 3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik.
• Die Rotationsgeschwindigkeit eines starren Körpers.
• Die Bewegung einer elektrischen Ladung in einem homogenen Magnetfeld.
• Der Flächensatz (zweites Keplersches Gesetz).
• Das beschleunigte, jedoch nicht rotierende Bezugssystem.
• Das rotierende Bezugssystem.
• Die Bewegungsgleichung eines Systems von Massenpunkten.
• Das Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.
• Dralländerung und Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.
• 3.5 Übungsaufgaben Nr. 44 bis Nr. 55.
• § 4. Mehrfache Produkte von Vektoren.
• 4.1 Das Spatprodukt.
• Definition.
• Eigenschaften des Spatproduktes.
• Das Spatprodukt in kartesischen Koordinaten.
• 4.2 Der Entwicklungssatz.
• 4.3. Das gemischte Dreifachprodukt.
• 4.4 Die Überschiebung zweier dyadischer Produkte.
• 4.5 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.
• Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie.
• Die Kosinussätze der sphärischen Trigonometrie.
• Zu den Frenetschen Formeln.
• 4.6 Anwendungsbeispiele aus der Physik.
• Das Drehmoment.
• Die Energie eines Dipols im elektrischen Feld.
• Die induzierte Spannung in einem geradlinigen, bewegten Leiter.
• Die Driftgeschwindigkeit geladener Partikel in Gasentladungen.
• Das reziproke Gitter.
• Die Bedeutung des reziproken Gitters.
• Anwendung des reziproken Gitters, die Ewaldsche Ausbreitungskugel.
• Die Braggsche Interferenzbedingung.
• 4.7 Übungsaufgaben Nr. 56 bis Nr. 66.
• Lösungen der Übungsaufgaben 1–66.