Einführung in die Vektorrechnung

Inhaltsverzeichnis

• § 1. Die Vektordefinition und einfachere Gesetzmäßigkeiten.
• 1.1 Skalare und Vektoren.
• Skalare.
• Vektoren.
• Der Betrag eines Vektors.
• 1.2 Die Summe und die Differenz von Vektoren.
• Eigenschaften der Vektorsumme.
• Das Kraftpolygon.
• Die Vektordifferenz.
• 1.3 Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.
• Zur Definition.
• Beispiele aus der Physik.
• Das distributive Gesetz.
• 1.4 Einsvektoren.
• 1.5 Die lineare Abhängigkeit von Vektoren.
• Die Kollinearität.
• Die Komplanarität.
• Vektoren im dreidimensionalen Raum.
• Der Beweis durch Vektorrechnung, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren.
• Das Raumgitter.
• 1.6 Die Zerlegung eines Vektors in Komponenten.
• Definition der Vektorzerlegung.
• Zerlegung in orthogonale Komponenten.
• 1.7 Das kartesische Koordinatensystem.
• Die Kennzeichnung des kartesischen Systems durch seine Koordinatenvektoren.
• Ortsvektoren.
• Vektorgleichungen in kartesischen Koordinaten.
• Die Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten in kartesischen Koordinaten.
• 1.8 Übungsaufgaben Nr. 1 bis Nr. 14.
• § 2. Produkte zweier Vektoren.
• 2.1 Das skalare Produkt.
• Definitionsmöglichkeiten von Produkten von Vektoren.
• Ein Beispiel aus der Physik.
• Die Definition des skalaren Produktes.
• Eigenschaften des skalaren Produktes.
• Eigenschaften, die das skalare Produkt nicht hat.
• Sonderfälle von skalaren Produkten.
• Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des skalaren Produktes.
• Die skalaren Produkte der Koordinatenvektoren.
• Die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.
• 2.2 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum skalaren Produkt.
• Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie.
• Satz: Die Summe der Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate über den vier Seiten.
• Die Gleichung einer Ebene.
• Laues Interferenzbedingung.
• Die Millerschen Indizes.
• Die Phase einer ebenen Welle.
• 2.3 Die Komponentendarstellung des skalaren Produktes.
• 2.4 Die Transformation kartesischer Komponenten.
• Die Verschiebung des Koordinatensystems.
• Die Drehung des Koordinatensystems.
• Ein Beispiel: Drehung des Koordinatensystems um die z-Achse.
• 2.5 Übungsaufgaben zum skalaren Produkt Nr. 15 bis Nr. 34.
• 2.6 Das dyadische Produkt.
• Eigenschaften des dyadischen Produktes.
• 2.7 Die Komponentendarstellung des dyadischen Produktes.
• 2.8 Das Vektorprodukt.
• Ein Beispiel aus der Geometrie.
• Die Definition des Vektorproduktes.
• Eigenschaften des Vektorproduktes.
• Eigenschaften, die das Vektorprodukt nicht hat.
• Sonderfälle von Vektorprodukten.
• Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des Vektorproduktes.
• Die Vektorprodukte der Koordinatenvektoren.
• Die vektorielle Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.
• 2.9 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum Vektorprodukt.
• Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
• Der Abstand zweier Geraden.
• Der infinitesimale Winkel.
• Die magnetische Kraft auf eine bewegte elektrische Punktladung.
• Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.
• Das Drehmoment einer Kraft.
• Das Drehmoment eines Kräftepaares.
• 2.10 Die Komponentendarstellung des Vektorproduktes.
• 2.11 Übungsaufgaben zum Vektorprodukt und zum dyadischen Produkt Nr. 35 bis Nr. 43.
• § 3. Die Differentiation von Vektoren nach Skalaren.
• 3.1 Die Definition des Differentialquotienten eines Vektors nach einem Skalar.
• Der Differentialquotient als Grenzwert.
• Ein Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor.
• Die Differentiation einer Vektorsumme.
• Die Differentiation eines Produktes aus Vektor und Skalar.
• Ein Beispiel: Differentiation eines Vektors, der als Produkt aus Betrag und Einsvektor dargestellt ist.
• Die Differentiation eines Vektors in kartesischen Koordinaten.
• Ein Beispiel: die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten.
• Ein Beispiel für mehrfache Differentiation: der Beschleunigungsvektor.
• 3.2 Die Differentiation von Produkten von Vektoren.
• Die Differentiation des skalaren Produktes.
• Die Differentiation des Vektorproduktes.
• 3.3 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.
• Die Frenetschen Formeln.
• 3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik.
• Die Rotationsgeschwindigkeit eines starren Körpers.
• Die Bewegung einer elektrischen Ladung in einem homogenen Magnetfeld.
• Der Flächensatz (zweites Keplersches Gesetz).
• Das beschleunigte, jedoch nicht rotierende Bezugssystem.
• Das rotierende Bezugssystem.
• Die Bewegungsgleichung eines Systems von Massenpunkten.
• Das Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.
• Dralländerung und Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.
• 3.5 Übungsaufgaben Nr. 44 bis Nr. 55.
• § 4. Mehrfache Produkte von Vektoren.
• 4.1 Das Spatprodukt.
• Definition.
• Eigenschaften des Spatproduktes.
• Das Spatprodukt in kartesischen Koordinaten.
• 4.2 Der Entwicklungssatz.
• 4.3 Das gemischte Dreifachprodukt.
• 4.4 Die Überschiebung zweier dyadischer Produkte.
• 4.5 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.
• Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie.
• Die Kosinussätze der sphärischen Trigonometrie.
• Zu den Frenetschen Formeln.
• 4.6 Anwendungsbeispiele aus der Physik.
• Das Drehmoment.
• Die Energie eines Dipols im elektrischen Feld.
• Die induzierte Spannung in einem geradlinigen, bewegten Leiter.
• Die Driftgeschwindigkeit geladener Partikel in Gasentladungen.
• Das reziproke Gitter.
• Die Bedeutung des reziproken Gitters.
• Anwendung des reziproken Gitters, die Ewaldsche Ausbreitungskugel.
• Die Braggsche Interferenzbedingung.
• 4.7 Übungsaufgaben Nr. 56 bis Nr. 66 94.
• § 5. Der Gradient.
• 5.1 Das Skalarfeld und der Gradient.
• Der Begriff des Gradienten.
• Der Gradient in kartesischen Koordinaten.
• Die Richtungsableitung einer Ortsfunktion.
• Das totale Differential.
• Der Gradient einer Summe.
• Der Gradient eines Produktes.
• Der Gradient der Funktion einer Ortsfunktion.
• 5.2 Das Gradientenfeld.
• Vektorlinien.
• Das Linienintegral eines Gradienten.
• Das Potentialfeld.
• Die Berechnung von Linienintegralen.
• 5.3 Anwendungsbeispiele.
• Die Tangentialfläche an eine gekrümmte Fläche.
• Physikalische Anwendungen des Potentialbegriffs.
• Das elektrostatische Feld.
• Die potentielle Energie eines Moleküls mit elektrischem Dipolmoment.
• Elektrizitätsleitung und Wärmeleitung.
• Die Diffusion.
• 5.4 Das Vektorfeld und der Vektorgradient.
• Der Begriff des Vektorgradienten.
• Die Richtungsableitung in einem Vektorfeld.
• Der Vektorgradient in kartesischen Koordinaten.
• Der substantielle (oder auch konvektive) zeitliche Differentialquotient in einem strömenden Medium.
• Die hydrodynamische Grundgleichung.
• Die Reihenentwicklung von Ortsfunktionen.
• Die Kraftwirkung eines elektrischen Feldes auf eine Anzahl elektrischer Punktladungen.
• 5.5 Übungsaufgaben Nr. 67 bis Nr. 91.
• § 6. Die Divergenz und die Rotation.
• 6.1 Das Quellenfeld und der Begriff der Divergenz.
• Der Vektorfluß.
• Vektorröhren.
• Die Divergenz.
• Die Divergenz einer Summe.
• Die Divergenz eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar.
• Die Divergenz in kartesischen Koordinaten.
• 6.2 Der Gaußsche Integralsatz.
• Der Gaußsche Satz.
• Die Berechnung von Flächenintegralen in kartesischen Koordinaten.
• Die Berechnung von Volumenintegralen in kartesischen Koordinaten.
• 6.3 Anwendungsbeispiele.
• Die Wärmeleitungsgleichung.
• Das Strömungsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit.
• Das quellenfreie elektrostatische Feld.
• Die Herleitung der Grundformel der kinetischen Gastheorie aus dem Virialsatz.
• Das elektrostatische Feld einer Punktladung.
• Das Feld in der Grenzschicht einer Halbleiter-Diode.
• 6.4 Das Wirbelfeld und der Begriff der Rotation.
• Die Zirkulation und die Zirkulationsdichte.
• Die Rotation.
• Der Rotor einer Summe.
• Der Rotor eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar.
• Der Rotor in kartesischen Koordinaten.
• 6.5 Der Stokessche Integralsatz.
• Die Gesamtzirkulation aneinandergrenzender Flächen.
• Der Stokessche Satz.
• 6.6 Anwendungsbeispiele.
• Der Rotor des Geschwindigkeitsvektors bei der Drehung eines starren Körpers.
• Ein Beispiel für ein Strömungsfeld einer laminar strömenden viskosen Flüssigkeit.
• Anwendung des Durchflutungsgesetzes zur Feldstärkenberechnung.
• Die Maxwellschen Gleichungen.
• 6.7 Übungsaufgaben Nr. 92 bis Nr. 117.
• § 7. Erweiterte räumliche Differentiation.
• 7.1 Der Nabla-Operator.
• Die Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes.
• Der Operator Nabla.
• Der Operator Nabla in kartesischen Koordinaten.
• Die Invarianz des ?-Operators gegen Drehung des Koordinatensystems.
• 7.2 Die räumliche Differentiation von Produkten.
• Der Einwirkungspfeil.
• grad (S T).
• div (SA).
• rot (SA).
• div (A × B).
• div (A B).
• rot (A × B).
• grad (A · B).
• 7.3 Die Kettenregel bei räumlicher Differentiation.
• 7.4 Mehrfache räumliche Differentiation.
• Die Rotation eines Gradienten.
• Die Divergenz einer Rotation.
• Der Laplace-Operator.
• Anwendung des Laplace-Operators auf Vektoren.
• Anwendung des Laplace-Operators auf Produkte.
• Die Greenschen Integralsätze.
• 7.5 Anwendungsbeispiele.
• Die Energiedichte des elektrischen Feldes.
• Die Wellengleichung als Folge der Maxwellschen Gleichungen.
• Die Eichung des Vektorpotentials.
• Die Kontinuitätsgleichung bei kompressiblen Medien.
• Erweiterung der Kontinuitätsgleichung auf chemische Reaktionen.
• Der Lagrange-Satz über die Wirbelfreiheit.
• Das Quadrupolmoment.
• 7.6 Übungsaufgaben Nr. 118 bis Nr. 130.
• § 8. Zylinder- und Kugelkoordinaten.
• 8.1 Zylinderkoordinaten.
• Die Koordinaten-Umrechnung.
• Die Vektordarstellung in Zylinderkoordinaten.
• Die Transformationsgleichungen für Vektoren.
• Spezielle Vektoren in Zylinderkoordinaten.
• 8.2 Differentiationen in Zylinderkoordinaten.
• Die Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren.
• Der Gradient in Zylinderkoordinaten.
• Die Divergenz in Zylinderkoordinaten.
• Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten.
• Die Rotation in Zylinderkoordinaten.
• Die Zweckmäßigkeit der Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrische Felder.
• 8.3 Kugelkoordinaten.
• 8.4 Differentiationen in Kugelkoordinaten.
• Der Gradient in Kugelkoordinaten.
• Die Divergenz in Kugelkoordinaten.
• Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten.
• Die Rotation in Kugelkoordinaten.
• Die Zweckmäßigkeit von Kugelkoordinaten bei kugelsymmetrischen Feldern.
• 8.5 Flächen-und Volumenintegrale in Zylinderkoordinaten.
• Das Flächenintegral über eine Kreisfläche.
• Das Flächenintegral über eine Zylinderfläche.
• Das Flächenintegral über eine Kugelfläche.
• Das Volumenintegral über einen zylindrischen Bereich.
• Das Volumenintegral über eine Kugel.
• 8.6 Anwendungsbeispiele.
• Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz.
• Eine besondere Eigenschaft der Funktion S = 1/r.
• Anwendung des Greenschen Satzes zur Integration der Poissongleichung.
• Aufbau eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln.
• 8.7 Übungsaufgaben Nr. 131 bis Nr. 148.
• Lösungen der Übungsaufgaben.