Inf-Sup Stable Space-Time Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations

Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen werden klassisch mittels Zeitschrittverfahren und Finite-Element-Methoden im Ort diskretisiert. Einen anderen Zugang liefern Raum-Zeit-Methoden, bei denen die Diskretisierungen der Zeit- und Ortskoordinaten simultan erfolgen. Diese Raum-Zeit-Methoden hängen sehr stark von der zugrundeliegenden Raum-Zeit-Variationsformulierung ab. In dieser Arbeit werden Raum-Zeit-Variationsformulierungen und deren Diskretisierungen mittels konformer, stückweise polynomieller Funktionen für die Wärmeleitungs- und Wellengleichung betrachtet. Im ersten Teil wird die Wärmeleitungsgleichung in anisotropen Sobolevräumen mithilfe einer Transformation, welche ähnlich zur Hilberttransformation ist, formuliert. Dies führt zu einer Variationsformulierung mit gleichem Ansatz- und Testraum, deren beliebige konforme Diskretisierung unbedingt stabil ist. Der zweite Teil behandelt Variationsformulierungen für die Wellengleichung. Neue Existenz- und Eindeutigkeitssätze werden für Formulierungen im schwachen und starken Sinne bewiesen, sodass die Lösungsoperatoren Isomorphismen sind, welche entsprechende inf-sup-Bedingungen garantieren. Weiters wird eine unbedingt stabile Raum-Zeit-Finite-Element-Methode mit stückweise linearen, stetigen Funktionen hergeleitet.