The Finite Mass Method with Fields

In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, das die Methode der Finiten Massen um die Berechnung von Kraftfeldern, wie sie beispielsweise in der Elektrostatik oder unter dem Einfluss von Gravitation auftreten, erweitert. Die Methode der Finiten Massen, die von Gauger, Leinen und Yserentant in [GLY00] vorgestellt
wurde, ist ein Verfahren zur Simulation von kompressiblen Fluiden, das auf einem Lagrangeschen Ansatz beruht. Dazu wird die Masse durch eine endliche Anzahl von sich überlappenden Massepaketen (”Teilchen“) endlicher Ausdehnung diskretisiert, deren innere Massenverteilung durch eine feste Formfunktion gegeben ist. Sie könen sich unabhängig voneinander bewegen, drehen, durchdringen und sogar ihre Form gemäß linearer Deformationen verädern. Die Bewegung der Teilchen ist durch Kräte, die
auf sie wirken, bestimmt. Dabei sind physikalische Grundprinzipien wie z. B. Masse-, Energie-, Impulserhaltung ebenso wie die Gesetze der Thermodynamik berüksichtigt.
Im einfachsten, dem adiabatischen, nichtviskosen Fall werden die Bewegungsgleichungen der Teilchen von einer Lagrange-Funktion, bei der die innere Energie als potentielle Energie eingesetzt wird, hergeleitet.
Um nun den Einfluss von Feldern wie elektrostatischen oder Gravitationsfeldern in die Methode einzubinden, wird die Lagrange-Funktion um eine zusäzliche Energie, die vom Potential des Feldes abhängt, erweitert. Daraus ergeben sich nach dem oben erwähnten Lagrangeschen Ansatz Bewegungsgleichungen für die Teilchen, die entsprechende zusätzliche Kraftterme enthalten. In diesen elektrostatischen bzw. Gravitationskräften wirkt somit das Kraftfeld mittels des Potentials auf die Teilchen. Für die Berechnung der Kräfte, die auf die Teilchen wirken, muss daher erst einmal ein Potentialproblem gelöst werden. Dieses Potentialproblem koppelt das Potential mit der Ladungs- bzw. Massendichte in Form des Poisson-Problems, wobei die Dichte in
der rechten Seite der Poisson-Gleichung als Quellterm für das Potential wirkt. Zur approximativen Lösung dieses Problems wird es in ein Randwertproblem auf einem künstlichen Rechengebiet umformuliert. Da die Dichte, durch die Anordnung der Teilchen bedingt, räumlich stark schwanken kann, ist es sinnvoll, adaptive
Lösungsverfahren zu verwenden. Die Lösung des Poisson-Problems soll mittels Finite-Element-Diskretisierung und Mehrgitterverfahren approximiert werden. Hierbei wird der Diskretisierung ein nicht-uniformes adaptives Tensorproduktgitter zugrunde gelegt.
Damit dieses Gitter sowohl an das gegebene Problem als auch an das Mehrgitterverfahren, das verwendet werden soll, möglichst gut angepasst ist, muss es bestimmte Charakteristiken, wie z. B. lokale Uniformität, aufweisen. In dieser Arbeit wird ein Algorithmus vorgestellt, der geeignete Gitter im zwei- und dreidimensionalen Fall erzeugt.
Auf der Grundlage dieser Diskretisierung werden nun Finite-Element-Basisfunktionen als stetige, stückweise multilineare Funktionen eingeführt. Zur approximativen Lösung des diskretisierten Problems wird ein lokales Mehrgitterverfahren verwendet, das in Form des Hierarchischen-Transformations-Mehrgitteralgorithmus (s. [Gri90]) implementiert ist. Dieses Verfahren basiert auf der hierarchischen Darstellung der Gitterfunktionen und ermöglicht eine Beschränkung der Berechnungen auf die hierarchischen Überschüsse. Somit liefert es einen effizienten Algorithmus, der insbesondere auch für adaptive Gitterstrukturen gut geeignet ist.
Bei der C++-Implementierung werden zur Verwaltung des adaptiven Gitters und der zugehörigen Daten Hash-Tabellen verwendet. Diese Hash-Tabellen liefern eine effiziente Möglichkeit, Daten zu speichern und wieder darauf zuzugreifen, falls eine
gute, d. h. weit streuende Hash-Funktion verwendet wird. Da es keine Regel gibt, welche Hash-Funktion für ein Problem geeignet ist, werden in dieser Arbeit einige Hash-Funktionen untersucht.
Schließlich werden einige Rechenexperimente zur Gravitation von Gaswolken die Koppelung der Methode der Finiten Massen mit Feldern, die bis hin zur Implementierung in dieser Arbeit beschrieben ist, illustrieren und evaluieren.