The Harmonic Oscillator in Quantum Theory: Mathematical Structures

Der harmonische Oszillator ist ein Modell für die Beschreibung von Schwingungszuständen eines zweiatomigen Moleküls. Rechnungen dazu können mit der Heisenberg-Vertauschungsrelation auf verschiedene Weise durchgeführt werden:

– Mittels einer Eigenwertdifferentialgleichung für die Energie – Durch sogenannte Leiteroperatoren in einem Hilbertraum – Über Pfadintegralmethoden
Oder, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt, mit einer Algebra von nichtkommutativen Elementen. Wobei diese Algebra auch Summen von unendlich vielen dieser Elemente zulässt. (Dies gibt den Anlass, die mathematischen Begriffe der algebraischen, reduzierten und topologischen Basis zu unterscheiden.) Es werden außerdem neue Iterationsformeln für Vertauschungsrelationen vorgestellt. Damit lässt sich die Oszillator-Lie-Gruppe durch Exponenzieren der Elemente der Oszillator- Lie-Algebra erzeugen. (Dies liefert die mathematischen Grundbegriffe von Algebren in kleiner, großer und riesiger Darstellung.)
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The harmonic oscillator is a model for describing oscillatory properties of a diatomic molecule. Related calculations can be done in Various ways with the Heisenberg commutation relation:

By an eigenvalue differential equation for the energy. Using creation and annihilation operators in a Hilbert space. By path integral methods. Or, as shown in the manuscript, with an algebra of noncommutative elements. In this algebra are allowed sums of infinintely many elements. (This motivates discerning the mathematical notions of algebraic, reduced and topological basis of vector spaces.) Moreover, are introduced new iteration formulas for commutation relations. This makes it possible to generate the oscillator Lie group by exponentiating elements of the oscillator Lie algebra. (In That context emerge the mathematical notions of algebras in small, large and huge representation.)