Numerik partieller Differentialgleichungen

Inhaltsverzeichnis

• 1 Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
• 1.1 Problemstellung.
• 1.2 Grundlegende Aussagen.
• 1.3 Das klassische Differenzenverfahren.
• 1.4 Zugänge zu Differenzenverfahren.
• 1.5 Kollokationsverfahren.
• 2 Elliptische Randwertaufgaben zweiter Ordnung: Klassische Lösungen und Differenzenverfahren.
• 2.1 Grundlegende Aussagen.
• 2.2 Differenzenverfahren für die Poisson-Gleichung.
• 2.3 Allgemeine Differentialoperatoren.
• 2.4 Weitere Zugänge zu Differenzenverfahren.
• 3 Schwache Lösungen, elliptische Differentialgleichungen und Sobolev-Räume.
• 3.1 Einführung.
• 3.2 Angepaßte Funktionenräume.
• 3.3 Variationsgleichungen und konforme Approximation.
• 3.4 Stabile Variationsgleichungen.
• 3.5 Nichtlineare Probleme.
• 4 Methode der finiten Elemente.
• 4.1 Ein Beispiel.
• 4.2 Finite-Elemente-Räume.
• 4.3 Bézier-Bernstein-Polynome.
• 4.4 Realisierung der Finite-Elemte-Methode.
• 4.5 Konvergenz konformer Methoden.
• 4.6 Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden.
• 4.7 Gemischte finite Elemente.
• 4.8 Fehlerschätzer und Gittersteuerung.
• 4.9 Hinweise zu weiteren interessanten Entwicklungen.
• 5 Numerische Verfahren für die diskretisierten Probleme.
• 5.1 Besonderheiten der Aufgabenstellung.
• 5.2 Direkte Verfahren.
• 5.3 Iterationsverfahren.
• 5.4 Relaxations- und Splittingverfahren.
• 5.5 CG — Verfahren.
• 5.6 Mehrgitterverfahren.
• 6 Die numerische Behandlung parabolischer Probleme.
• 6.1 Analysis parabolischer Probleme.
• 6.2 Differenzenverfahren.
• 6.3 Die (vertikale) Linienmethode.
• 6.4 Rothe-Methode.
• 6.5 Fehlerkontrolle.
• 7 Singuläre Störungen und hyperbolische Probleme.
• 7.1 Singuläre Störungen.
• 7.2 Erhaltungsgleichungen.
• 8 Numerische Methoden für Variationsungleichungen.
• 8.1 Aufgabenstellung.
• 8.2 Diskretisierung von Variationsungleichungen.
• 8.3Penalty-Methoden.
• 8.4 Wahl der Parameter.
• 9 Randintegralmethoden und Randelemente: ein kurzer Abriß.
• 9.1 Beispiele von Randintegralgleichungen.
• 9.2 Variationsformulierung.
• 9.3 Die Randelementmethode.
• 9.4 Dualität und das Trefftz-Verfahren.