Funktionalanalysis und Numerische Mathematik

Inhaltsverzeichnis

• I Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.
• 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.
• 1.1 Einige allgemeine Begriffe.
• 1.2 Lösungen von Gleichungen.
• 1.3 Untersuchung der Eigenschaften der Lösungen von Gleichungen.
• 1.4 Extremalaufgaben mit oder ohne Nebenbedingungen.
• 1.5 Darstellungsaufgaben (Koeffizientenbestimmungen).
• 1.6 Auswertungen.
• 2. Einige Typen von Räumen.
• 2.1 Höldersche und Minkowskische Ungleichung.
• 2.2 Der topologische Raum.
• 2.3 Quasimetrische und metrische Räume.
• 2.4 Lineare Räume.
• 2.5 Normierte Räume.
• 2.6 Unitäre Räume und SCHWARZsche Ungleichung.
• 2.7 Die Parallelogrammgleichung.
• 2.8 Orthogonalität in unitären Räumen, BESSELsche Ungleichung.
• 3. Ordnungen.
• 3.1 Halbordnung und Totalordnung.
• 3.2 Verbände.
• 3.3 Pseudometrische Räume.
• 4. Konvergenz und Vollständigkeit.
• 4.1 Konvergenz im pseudometrischen Raum.
• 4.2 Cauchy-konvergente Folgen.
• 4.3 Vollständigkeit, Hilbert- und Banachräume.
• 4.4 Einige Stetigkeitsaussagen.
• 4.5 Einfache Folgerungen für den Hilbertschen Raum, Unterräume.
• 4.6 Vollständige Orthonormalsysteme in Hilberträumen.
• 4.7 Beispiele.
• 4.8 Schwache Konvergenz.
• 5 Kompaktheit.
• 5.1 Kompakt und kompakt in sich.
• 5.2 Beispiele für Kompaktheit.
• 5.3 Der Satz von Arzelà.
• 5.4 Von Integraloperatoren erzeugte, in sich kompakte Funktionenmengen.
• 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Räumen.
• 6.1 Lineare und beschränkte Operatoren.
• 6.2 Zusammensetzung von Operatoren.
• 6.3 Der inverse Operator.
• 6.4 Beispiele von Operatoren.
• 6.5 Die Inversen benachbarter Operatoren.
• 6.6 Die Kondition eines linearen beschränkten Operators.
• 6.7 Eine Fehlerabschätzung für ein Iterations verfahren.
• 6.8 Der Satz von Riesz und der Auswahlsatz.
• 6.9 Ein Satz von Banach über Folgen von Operatoren.
• 6.10 Anwendung auf Quadraturformeln.
• 7. Operatoren in Hilberträumen.
• 7.1 Der adjungierte Operator.
• 7.2 Beispiele.
• 7.3 Differentialoperatoren bei Funktionen einer Veränderlichen.
• 7.4 Differentialoperatoren bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.
• 7.5 Vollstetige Operatoren.
• 7.6 Vollstetige Integraloperatoren.
• 7.7 Restgliedabschätzungen für holomorphe Funktionen.
• 7.8 Ableitungsfreie Abschätzungen für Quadraturfehler.
• 7.9 Ein Grundprinzip der Variationsrechnung.
• 8. Eigenwertaufgaben.
• 8.1 Allgemeine Eigenwertaufgaben.
• 8.2 Spektrum eines Operators in einem metrischen Raum.
• 8.3 Einschließungssatz für Eigenwerte.
• 8.4 Projektionen.
• 8.5 Extremaleigenschaften der Eigenwerte.
• 8.6 Zwei Mimmalprinzipien bei Differentialgleichungen.
• 8.7 Ritzsches Verfahren.
• 9. Vektornormen und Matrixnormen.
• 9.1 Vektornormen.
• 9.2 Vergleich verschiedener Vektornormen.
• 9.3 Matrixnormen.
• 9.4 Aus der Matrizenlehre.
• 9.5 Euklidische Vektornorm und passende Matrixnormen.
• 9.6 Andere Vektornormen und zugeordnete Matrixnormen.
• 9.7 Transformierte Normen.
• 10. Weitere Sätze über Vektor- und Matrixnormen.
• 10.1 Duale Vektornormen.
• 10.2 Bestimmung einiger dualer Normen.
• 10.3 Matrixpotenzen.
• 10.4 Eine Minimaleigenschaft der Spektralnorm.
• 10.5 Abweichung einer Matrix von der Normalität.
• 10.6 Spektralvariation zweier Matrizen.
• 10.7 Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.
• 10.8 Hinweise zu den Lösungen bei einigen Aufgaben von 10.7.
• II Iterative Verfahren.
• 11. Der Fixpunktsatz für das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Räumen.
• 11.1 Iterationsverfahren und einfache Beispiele.
• 11.2 Iterations verfahren bei Differentialgleichungen.
• 11.3 Der allgemeine Fixpunktsatz.
• 11.4 Beweis des allgemeinen Fixpunktsatzes.
• 11.5 Der Eindeutigkeitssatz.
• 12. Spezialfälle des Fixpunktsatzes und Abänderung des Operators.
• 12.1 Spezialfall eines linearen Hilfsoperators P.
• 12.2 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als Zahlenfaktor.
• 12.3 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als nichtlinearer, reellwertiger Funktion.
• 12.4 Durchführung von Iterationen mit einem abgeänderten Operator und Genauigkeitsfragen.
• 12.5 Fehlerabschätzung bei abgeänderter Iteration.
• 13. Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.
• 13.1 Eine einzelne Gleichung.
• 13.2 Verschiedene Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.
• 13.3 Einige Konvergenzkriterien bei linearen Gleichungssystemen.
• 13.4 Zeilen- und Spaltensummenkriterium.
• 14. Gleichungssysteme und Differenzenverfahren.
• 14.1 Differenzenverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen.
• 14.2 Fehlerabschätzung für Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.
• 14.3 Gruppeniteration.
• 14.4 Unendliche lineare.
• 14.5 Overrelaxation mit Fehlerabschätzung.
• 14.6 Wahl des Overrelaxationsfaktors.
• 14.7 Methode der alternierenden Richtungen.
• 15. Iterationsverfahren bei Differential- und Integralgleichungen.
• 15.1 Nichtlineare Randwertaufgaben.
• 15.2 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
• 15.3 Integralgleichungen.
• 15.4 Systeme hyperbolischer Differentialgleichungen.
• 15.5 Fehlerabschätzung bei hyperbolischen Systemen.
• 16. Ableitung von Operatoren in supermetrischen Räumen.
• 16.1 Die Fréchetsche Ableitung.
• 16.2 Höhere Ableitungen.
• 16.3 Die Kettenregel der Differentialrechnung.
• 16.4 Grundsätzliche Beispiele zur Bildung der Ableitungen.
• 16.5 L-metrische Räume.
• 16.6 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel.
• 17. Aufstellung von Iterationsverfahren.
• 17.1 Gewöhnliches und vereinfachtes Newtonsches Verfahren.
• 17.2 Fehlerabschätzung für das vereinfachte Newtonsche Verfahren.
• 17.3 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren bei nichtlinearen Randwertaufgaben.
• 17.4 Die Ordnung von Iterationsverfahren.
• 17.5 Iterationsverfahren bei Gleichungen mit holomorphen Funktionen, auch bei mehrfachen Nullstellen.
• 17.6 Allgemeines Iterationsverfahren k-ter Ordnung zur Lösung der Operatorgleichung T u = ?.
• 17.7 Bemerkung über den Rechenaufwand bei Verfahren höherer Ordnung.
• 18. Regula falsi.
• 18.1 Primitivform und Normalform der Regula-falsi-Verschärfungen.
• 18.2 Primitivform der Regula falsi bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.
• 18.3 Die Regula falsi bei Operatorgleichungen.
• 18.4 Erweiterungen der Regula falsi.
• 18.5 Steigungen eines Operators und Newtonsches Interpolationspolynom.
• 18.6 Konvergenz der Regula-falsi-Methode bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.
• 18.7 Allgemeinere Verfahren und Beispiele.
• 19. Newtonsches Verfahren mit Verschärfungen.
• 19.1 Das Newtonsche Verfahren mit Verschärfungen und die grundlegenden Abschätzungsfunktionen.
• 19.2 Allgemeiner Konvergenzsatz für die Newtonschen Verfahren mit Verschärfungen.
• 19.3 Allgemeine Bemerkungen über die Anwendung des Newtonschen Verfahrens.
• 19.4 Das Newtonsche Verfahren bei Eigenwertaufgaben.
• 19.5 Das Newtonsche Verfahren bei Approximationsaufgaben.
• 20. Monotonie und Extremalprinzipien beim Newtonschen Verfahren.
• 20.1 Problemklasse, konvexe und konkave Operatoren.
• 20.2 Monotonie beim Newtonschen Verfahren.
• 20.3 Extremalprinzipien und Einschließungssatz.
• 20.4 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben.
• 20.5 Konvergenzuntersuchung.
• 20.6 Vermischte Aufgaben zu Kap. II.
• 20.7 Hinweise zu den Lösungen.
• III Monotonie, Ungleichungen und weitere Gebiete.
• 21. Monotone Operatoren.
• 21.1 Definition und Beispiele.
• 21.2 Monoton zerlegbare Operatoren.
• 21.3 Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes.
• 21.4 Anwendung des Schauderschen Satzes bei nichtlinearen Differentialgleichungen.
• 21.5 Anwendung auf reelle lineare Gleichungssysteme.
• 22. Weitere Anwendungen des Schauderschen Satzes.
• 22.1 Extrapolation mit Fehlerabschätzung bei einer monotonen Iterationsfolge.
• 22.2 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme.
• 22.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen.
• 22.4 ‚Ein weiterer Monotoniesätz.
• 22.5 Anwendungen auf nichtlineare Integralgleichungen.
• 23. Monotone Art bei Matrizen und Randwertaufgaben.
• 23.1 Matrizen monotoner Art.
• 23.2 Monotone Art bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen.
• 23.3 Randmaximumsatz bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.
• 23.4 Monotone Art bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.
• 23.5 Spezialfall der linearen elliptischen Differentialgleichungen.
• 24. Anfangswertaufgaben und weitere Monotoniesätze.
• 24.1 Strenge Monotonie bei parabolischen Gleichungen.
• 24.2 Der allgemeine Monotoniesatz.
• 24.3 Nichtlineare hyperbolische Differentialgleichungen.
• 24.4 Majorisierung der Greenschen Funktion und nichtlineare Randwertaufgaben.
• 25. Approximation von Funktionen.
• 25.1 Problemstellungen bei Approximationsfragen.
• 25.2 Lineare Approximation.
• 25.3 Menge der Minimallösungen bei rationaler Approximation.
• 25.4 Existenzsatz für rationale Tschebyscheff-Approximation.
• 25.5 Allgemeiner Einschließungssatz für die Minimalabweichung.
• 25.6 Ein System von Ungleichungen.
• 25.7 Anwendungen.
• 25.8 Rationale T-Approximation und Eigenwertaufgaben.
• 26. Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Austauschverfahren.
• 26.1 Die diskrete T-Approximation.
• 26.2 Referenz und Referenzabweichung.
• 26.3 Das Zentrum.
• 26.4 Austauschverfahren.
• 26.5 Vermischte Aufgaben zu Kap. III.
• 26.6 Hinweise zu den Lösungen.
• Anhang: Zum Schauderschen Fixpunktsatz.
• 26.7 Hilfssätze über kompakte Mengen.
• 26.8 Zwei Fassungen des Schauderschen Fixpunktsatzes.
• Namenverzeichnis.